Конспект урока по теме: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа, 8 класс, уч. Мордкович А.Г.

Класс: 8 класс
УМК: Алгебра 8 класс, А.Г. Мордкович
Тема: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа.
Цели: Ввести понятие квадратного корня из неотрицательного числа, формировать умения преобразовывать квадратные корни. Развивать внимание, логическое мышление, умение обобщать и систематизировать полученные знания, математически грамотную речь; способствовать развитию самостоятельности учащихся. Повышать интерес к познавательному процессу, воспитывать математическую культуру.

Формируемые УУД: Саморегуляция, самоконтроль, самоопределение. Классификация объектов. Оценка и коррекция своих знаний. Анализ и выделение необходимой информации, моделирование (построение чертежа). Установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели. Оценка и коррекция своих знаний.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, карандаш, линейка, карточки с заданиями для проведения самостоятельной работы.
Ход урока:
1. Организационный момент.
- Доброе утро, ребята. Присаживайтесь поудобнее. Вы готовы к овладению новыми знаниями? Тогда проверьте, все ли у вас готово: тетрадь, ручка, карандаш, линейка. Оставьте место в тетрадях для темы урока, её вы сформулируете позже, а теперь начнем работать.
2. Актуализация знаний.
- Но сначала давайте вспомним какие типы уравнений мы с вами уже знаем? (ax+b=0 и ax2+bx+c=0) Правильно, а как мы решали с вами уравнения: ax2+bx+c=0? (разложением на множители и графически) Верно.
Вспомним, как это делается и решим уравнение х2 = 4.
I способ
Перенесём все выражения в левую часть, получим:
41649655036185х2 = 4 ↔ x2- 4=0 ↔ x2 - 22 = 0 ↔ (x - 2)(x + 2) = 0 ↔ x-2=0x+2=0 ↔ x= 2x= -2Ответ: ± 2.
II способ
Решим данное уравнение графически. Для этого нарисуем графики двух функций: y = x2 и y = 4. Пересечения этих графиков (точнее, абсциссы точек пересечения) и будут корнями данного уравнения.
Мы видим, что графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны -2 и 2. Поэтому решение уравнения будет следующим: x = ± 2.
Ответ: ± 2.
- А теперь решим уравнение х2 = 9, кто желает сделать это у доски?
I способ
Перенесём все выражения в левую часть, получим:
42024307604760х2 = 9 ↔ x2- 9=0 ↔ x2 - 32 = 0 ↔ (x - 3)(x + 3) = 0 ↔ x-3=0x+3=0 ↔ x= 3 x= -3Ответ: ± 3.
II способ
Решим данное уравнение графически. Для этого нарисуем . Пересечения этих графиков (точнее, абсциссы точек пересечения) и будут корнями данного уравнения.
Мы видим, что графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны - 3 и 3. Поэтому решение уравнения будет следующим: x = ± 3.
Ответ: ± 3.
3. Изучение нового материала.
А теперь попробуем решить уравнение х2 = 5.
Сколько корней будет у этого уравнения, как вы думаете? Конечно, это уравнение, как и два предыдущих будет иметь два корня х1 и х2, которые равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Но в отличие от двух предыдущих случаев, где корни уравнения мы нашли без труда и даже двумя способами, с этим уравнением дело обстоит не так просто. Построим чертеж, по нему мы не можем точно указать значения корней. Мы можем только установить, что один корень располагается между -2 и -3, а второй корень где-то между 2 и 3.
Что же это за число? Ясно, что оно меньше 3 и больше 2.
Между числами находится бесконечное множество рациональных чисел. Может быть среди найдется такая дробь mn , что mn2 = 5 ? Тогда мы сможем написать, что x1 = mn , а x2 = - mn . Но тут нас ждет неприятный сюрприз, так как нет такой дроби mn , для которой бы выполнялось равенство mn2 = 5. Самые любознательные смогут ознакомиться с доказательством этого в §10 на странице 42 вашего учебника.
Итак, располагая только рациональными числами уравнение х2 = 5 мы решить не сможем.
Встретившись с подобной ситуацией математики решили, что надо придумать способ её описания на математическом языке и ввели в рассмотрение новый символ √ .
41624252404745С помощью этого символа √ корни уравнения х2 = 5 записали так: х1 = √5 , х2 = - √5. А читают его «корень квадратный из пяти».
Теперь для любого уравнения вида х2 = а, где а > 0, мы можем записать корни
х1 = √а , х2 = - √а.
Так какое же это число √5 ? Это не целое, не дробь, то есть не рациональное число. Это число новой природы.
А какие корни имеет уравнение х2 = 0 ? Правильно, x = 0. Поэтому и условились считать, что √0 = 0.
Теперь попробуем сформулировать тему урока. С какими числами новой природы мы познакомились? (√а) Каким может быть число а и почему? (неотрицательным) Как сформулируем тему урока? Правильно, записываем тему в тетради: Понятие квадратного корня из неотрицательного числа.
На практике обычно полагают, что число √5 равно 2,23 или 2,24, но только это значение приближенное. √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24, его можно посчитать с помощью калькулятора.
Теперь дадим строгое определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Число а всегда какое? (неотрицательное) А почему? (если а < 0, то уравнение х2 = а не имеет корней)
Каким числом может быть √а , согласно нашему определению? (неотрицательным) Правильно, а теперь вернемся к нашим уравнениям и посмотрим какое условие мы должны к ним добавить, чтобы наши корни соответствовали определению? Конечно, x ≥ 0. Как изменятся графики решений этих уравнений? (они будут только в промежутке от 0 до + ∞).
Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.
А сейчас перед попробуем применить наши новые знания на практике. Работа на доске и в тетрадях.
ПРИМЕР:
√49 = 7, т.к. 7 > 0, 72 = 49
√25 = 5, т.к. 5 > 0, 52 = 25 И хотя (-5)2 = 25 – верно, √25= -5 – написать нельзя, т.к. по определению 25 число положительное, значит √25 = 5, а не - 5.
√0 = 0
√- 4 вычислить нельзя, т.к. корень из отрицательного числа не существует
√17 – мы не можем указать точное значение, ясно что оно больше чем 4, поскольку 42 = 16, но меньше чем 5,
52 =25. Можно воспользоваться калькулятором ≈ 4,1231.
А кто догадается, что мы назовем кубическим корнем из числа а? (неотрицательное число, куб которого равен а) Сформулируем определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, куб которого равен а .
4. Закрепление изученного материала.
Решение задач из задачника.
Устно: 10.1, 10.3. Письменно: 10.6, 10.7, 10.9, 10.18, 10.19, 10.20
5. Самостоятельная работа по карточкам.
Проверяем друг у друга, выставляя оценки карандашом и сдаем учителю на проверку (результаты на следующем уроке).
6. Итог урока.
Дать определение квадратного корня из неотрицательного числа?
(Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а)
Какую операцию называют извлечением квадратного корня?
(Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.)

7. Домашнее задание.
§10, прочитать, повторить определение квадратного корня, разобрать примеры 1 и 2 (стр.46 - 48)
1 уровень: № 10.2, 10.5, 10.8, 10.17.
2 уровень: № 10.8, 10.10, 10.17, 10.20.