Лекция по математике на тему Некоторые следствия из аксиом

Лекция по теме «Некоторые следствия из аксиом»
Мы познакомимся со следствиями из аксиом стереометрии и их доказательствами, применим эти свойства при решении задач.
Их мы сформулируем в виде теорем.
`
Первое следствие из аксиом.
Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 1. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:
прямая a
точка A не принадлежащая на прямой a
Доказать: Существует единственная плоскость β, проходящая через прямую a и точку A
Доказательство
Докажем существование плоскости.
Отметим на прямой a любые две точки B и C.Так как три точки A, B, C не лежат на одной прямой, то существует плоскость β, проходящая через эти точки. Это следует из аксиомы А1.
Так как две точки B и C прямой a принадлежат плоскости β, то плоскость β проходит через прямую a (по аксиоме А2).
Итак, плоскость β проходит через прямую a и точку A.
β– искомая плоскость.
2) Докажем единственность плоскости.
Любая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через три точки: B, C и A.
Мы знаем, что через три точки проходит единственная плоскость. Это следует из аксиомы А1.
Поэтому плоскость совпадет с плоскостью α.
Теорема доказана.
Дано:
aA∉aДоказать:
1) ∃β: a⊂β, A∈β2) β-единственная.Доказательство.
Существование.
Отметим точки: B ∈ α, C∈a.A, B, C не лежат на дной прямой⇒∃β:(A, B, C)∈β. (Аксиома А1)
B∈βC∈ β⇒BC ⊂ β, a⊂β (Аксиома А2)
β– искомая плоскость.
Единственность.
Любая другая плоскость, проходящая через прямую a и точку A проходит через B, C и A.
Через три точки проходит единственная плоскость (аксиома А1). Поэтому плоскость совпадет с плоскостью α.
Теорема доказана
Второе следствие из аксиом.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Дано:
Прямые a и b, пересекающиеся в точке A.
Докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:
a, b
a∩b=AДоказать:
1) ∃α: a⊂α, b⊂α2) α-единственная.Доказательство.
Докажем, что такая плоскость существует.
На прямой b отметим произвольную точку B, отличную от A.
Через точку B и прямую a мы можем провести плоскость α. По первой теореме.
Так как две точки A и B прямой b принадлежат плоскости α, то плоскость α проходит через прямую b.
Получается, плоскость α проходит через обе прямые.
α – искомая плоскость.
Теперь докажем, что такая плоскость единственная.
Допустим противное: существует другая плоскость, например плоскость β, которая проходит через прямые a и b.
Тогда плоскость β должна проходить и через точку B.
Через прямую a и точку B проходит единственная плоскость (по теорема 1). Поэтому плоскость β совпадает с плоскостью α.
Противоречие. Мы предполагали, что плоскости разные.
Значит, исходное предположение неверное. Плоскость α– единственная.
Теорема доказана.
Доказательство.
Существование.
Пусть B∈b.
Проведем плоскость α через a и B.
A ∈ αB∈α⇒b ⊂ α (по аксиоме А2)
Плоскость α проходит через обе прямые.
α – искомая плоскость.
Единственность.
Пусть ∃β: a, b⊂β, β≠αТогда B∈β .Через a и B проходит единственная плоскость.
Поэтому β≡α. Получили противоречие.
Значит, предположение неверное,
α– единственная плоскость.
Теорема доказана.
Перейдем к решению задач.
Мы можем опираться, пока, на три аксиомы, две теоремы, которые доказали и все факты планиметрии.
Задача 1.
Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
Ответ обоснуйте.
Решение.
Если AB и CD пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом).
Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи.
Ответ: Нет
Задача 1.
Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.
Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
Ответ обоснуйте.

Решение.
Если AB и CD пересекаются, то через них можно провести плоскость (2 следствие из аксиом).
Тогда все точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи.
Ответ: Нет
Задача 2.
Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;
Решение
Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки.
Приведем пример.
На экране вы видите окружность, две точки которой принадлежат плоскости α, но вся окружность не лежит в этой плоскости.
Ответ: Нет.
Задача 3.
Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Пусть три данные точки A, B и C окружности лежат в некоторой плоскости α.
Так как любые три точки окружности A, B, C не лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, B и C проходит единственная плоскость α.
Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости.
Поскольку в этой же плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью α∃ α:A, B, C ∈ α, α-единственная.Итак, вся окружность лежит в плоскости, в которой лежат три ее точки.
Ответ: Верно.
Задача 2.
Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;
Решение
Вся окружность может не лежать в плоскости, в которой лежат две ее точки. Это наглядно видно из примера

Ответ: нет.
Задача 3.

Пусть A, B, C∈ αТак как любые три точки окружности A, B, Cне лежат на одной прямой, то, согласно аксиоме A1, через A, Bи C проходит единственная плоскость.
Окружность плоская фигура, все ее точки лежат в одной плоскости.Поскольку в этой же плоскости лежат точки A, B, C, то она совпадет с плоскостью αИтак, вся окружность лежит в плоскости, в которой лежат три ее точки.
Ответ: Верно.
Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?
Дано:
Две прямые a и b пересекаются в точке M.
Некоторая прямая cпересекает прямые aи bв точках A и B.
Прямая d проходит через точку M
Доказать, что прямые a, b, cлежат в одной плоскости.
Определить, лежат ли в одной плоскости a, b, d.
Решение.
Так как прямые a b пересекаются, то существует плоскость α, проходящая через эти прямые. Это 2 следствие аксиом.
Две точки A и Bлежат в плоскости α, поэтому прямая ABлежит в плоскости α (аксиома А2).
Так как с и AB – обозначения одной и той же прямой, то прямая c лежит в плоскости α.
Получается, что все прямые лежат в одной плоскости α.Что и требовалось доказать.
2.
Все прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости α.
По аксиоме А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости, а у нас в плоскости альфа лежит только одна точка М
Это наглядно показано на примере.
Прямая d проходит через точку M, но не лежит в плоскости α.
Задача 4. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуM и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Дано:
a, b
a∩b=Mc: M∉c, c ∩a=A, c ∩b=Bd: M∈d:
Доказать: a, b, c – лежат в одной плоскости
Определить: Лежат ли a, b, d в одной плоскости?
Решение.
a ∩b=M ⇒ ∃ α: a, b⊂α (2 следствие аксиом).
A∈αB ∈ α ⇒AB ⊂α (аксиома А2)AB ≡c, c⊂ αa, b, c∈ α, Ч.Т.ДВсе прямые, проходящие через точку M, не обязательно лежат в плоскости α. (по А2: необходимо чтобы две точки прямой лежали в плоскости)
Пример:

M ∈d, d ⊄ α