Декартовы координаты и векторы

Раздел 10.2B: Декартовы координаты и векторы Школа: НИШ ХБН г. Актау
МИССИЯ: Подготовить и вдохновить лидеров с интеллектуальным потенциалом к обучению на протяжении всей жизни
Дата: 17.11.16 ФИО учителя: Качнов В.А.
Класс: 10 с Количество присутствующих: отсутствующих:
Тема урока Векторы. Действия над векторами
Скалярное произведение векторов. У
Цели обучения, которые достигаются на данном уроке ГВП10.2 знать и применять прави-ла сложения коллинеар-ных и неколлинеарных векторов;
ГВП10.8 вычислять длину вектора и скалярное произведение векторов;
Цели урокаУчащиеся должны понимать свойства векторов и использовать их при вычислении векторов, а также объяснять результаты.
Критерии успеха- знает как находить координаты вектора
-знает как вычислять длину вектора
- умеет находить координаты середины вектора
- знает формулу скалярного произведения векторов
Предварительные знанияПонимание декартовой системы координат. Знание уравнений прямых и как они выводятся.
Ход урокаЗапланированные этапы урокаЗапланированная деятельность на уроке РесурсыОрг. Момент 5 мин Приветствие. Проверка дом.заданияАктуализация знаний
15 мин Вектор задается двумя координатами: 
Здесь в скобках записаны координаты вектора  — по x и по y.Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).
Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4} = {2; -3}.
Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).
Решение:
ABx = Bx - Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8ABy = By - Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3
Ответ: B(8; -3).
Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).
Решение:
ABx = Bx - Ax   =>   Ax = Bx - ABx   =>   Ax = 3 - 5 = -2ABy = By - Ay   =>   Ay = By - ABy   =>   Ay = -4 - 1 = -5
Ответ: A(-2; -5).
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.
Решение: | a | = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.
Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.
Решение: | a | = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.
К предыдущему заданию найдите длины полученных векторов Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы  и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов  и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы  и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов  и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов  и  получаем:


Вычитание векторов
Вектор  направлен противоположно вектору .
Длины векторов  и  равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов  и  — это сумма вектора и вектора .

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
В случае плоской задачи сумму и разность векторов
 a= ax;ay и b= bx;byможно найти воспользовавшись следующими формулами:
a+b= ax+bx;ay+bya-b= ax-bx;ay-byПример 1. Найти сумму векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение:
a+b = {1 + 4; 2 + 8} = {5; 10}
Пример 2. Найти разность векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение:
a-b= {1 - 4; 2 - 8} = {-3; -6} Умножение вектора на число
При умножении вектора  на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Пример 1. Найти произведение вектора  a= {1; 2} на 3.
Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}. Самостоятельная работа 15 мин Учащиеся в парах выполняют задания ресурса. Действия над векторами в координатах
http://bilimland.kz/ru/content/category/search#p=2&pn=6&s=%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80&lesson=11841Рефлексия 5 мин - Что нового сегодня узнали?
- что было непонятно?
-Что необходимо сделать, для того чтоб устранить пробелы?
2 урок Самостоятельная работа 5 мин ..\16,11,16\prosteyshie_zadachi_v_koordinatakh.docxКарточки с вариантами. Задания от легкого к сложному. Задание В1 выполняется на доске. Формативная работа
10 мин Цель обучения
Знать и применять правила сложения коллинеарных и неколлинеарных векторов
Критерий успеха
• находит сумму векторов правилом треугольника;
• находит сумму правилом параллелограмма.
..\16,11,16\ФО вектор 1.docxНовая тема
10 мин Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов  и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a*a≥0Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a*a=0   <=>   a=0 
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a*a=a2Операция скалярного умножения коммуникативна:
a*b=b*aЕсли скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0,
 a*b= 0   <=>   a⊥b(αa)·b = α(a*b)-33438108013500Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a+b) · c = a*c +b*cПримеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Закрепление первичных знаний
10 мин http://bilimland.kz/ru/content/category/search#p=3&pn=6&s=%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80&lesson=10058Работа в парах. Работу координирует учитель. Задания требующие решения. Учащиеся фиксируют в тетрадях. Запись формул и определений Домашнее задание 2 мин https://www.edmodo.com/home#/group?id=23422967
код комнаты qmtan5 Рефлексия3 мин сегодня я узнал...
было трудно…
я понял, что…
я научился…
я смог…
было интересно узнать, что… Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися? Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися? Здоровье и соблюдение техники безопасности
Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока. Здоровьесберегающие технологии.
Используемые физминутки и активные виды деятельности.
Пункты, применяемые из Правил техники безопасности на данном уроке.
Рефлексия по уроку
Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?
Все ли учащиеся достигли ЦО?
Если нет, то почему? Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки. Общая оценка
Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?
1:
2:
Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?