Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами»

Методические рекомендации по теме «Особенности решения геометрических задач векторным и координатным методами».
Мы остановимся на особенностях решения геометрических задач векторным и координатным методами.
Сущность векторного и координатного методов решения геометрических задач практически одна: геометрическая задача полностью переводится на язык алгебры и дальнейшее ее решения сводится к решению уравнений, неравенств или их систем.
Главное при решении геометрических задач координатным методом – удачный выбор системы координат – выбор начала координат и направления осей. Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задачи. Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась условием задачи.
Задача. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. На радиусе ОВ взята точка К так, что ОК=ОВ, ОМ=ОD. Доказать, что точка пересечения прямых СК и АМ расположена на данной окружности.

Решение.
Решается координатным методом.
1) За оси координат выбираем прямые AB и CD. Пусть R=1; тогда К(;0); М(0;-); С(0;1); А(-1;0) и т.д.
2) Составим уравнение прямой СК и АМ
y = 1-3x ; y = - -
3)
CK∩AM=P
, найденная точка лежит на окружности.
Задача: на стороне ВС треугольника АВС взята точка М так, что ВМ=2СМ. Точки K и L выбраны на сторонах АС и АВ соответственно так, что АК=2СК, BL=3AL. В каком отношении прямая KL делит отрезок АМ?

Решение.
Векторным методом
АЕ:ЕМ=?
; (для краткости)
Пусть ;
Имеем:
, а с другой стороны,

Ввиду единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, получим систему уравнений:
х = , значит АЕ:ЕМ = 3:7
Смешанное решение задачи (координатным и векторным методом).
Задача: Дана окружность с центром в начале координат и точки А (2;0) ;
В(-2; 0) ; С(1;3). Прямые АС и ВС пересекают окружность вторично в точках R и S соответственно. Запишите уравнения окружности, проходящей через точки C, R, S,
Алгоритм решения задачи координатным методом:
а) Составить уравнения прямых АС и ВС по двум его точкам;
б) вычислить координаты точек R и S как точек пересечения прямых АС и ВС с окружностью х2+y2=4 путем решения двух систем уравнений;
в) записать уравнения серединных перпендикуляров к отрезкам CR и CS;
г) найти координаты их точки пересечения – цента М искомой окружности.
д) вычислить радиус r = МС;
е) записать уравнение окружности (М; r)
II. Смешанное решение.
Так как отрезок АВ – диаметр данной окружности, то отрезки AS и ВК являются высотами ∆АВС и пересекаются в точке H.
Окружность (М; r) проходящая через точки C, R, S, пройдет так же через H. Значит, М – середина НС.
Прямые, содержащие высот треугольника, пересекаются в одной точке, т.е. Н = AS∩CC1, где CC1АВ.
CC1 имеет уравнение х=1
Прямая AS проходит через точку А (2; 0) перпендикулярно ВС =(3; 3) и имеет уравнение х + у – 2 = 0
Значит, Н (1; 1), а М – середина отрезка НС, М (1; 2).
Уравнение окружности имеет вид:
(х – 1)2 = (у – 2)2 = 1
Это решение не только упростило вычисления, но и позволило применить изученные ранее теоремы из других разделов.
Задача: Дано . Определите вид треугольника АВС.

Решение.
Рассмотрим 3 способа решения векторным методом
I способ.Представив , получим:
,
,
, следовательно , т.е.
II способ
Из определения скалярного произведения векторов и данного равенства следует, что , или (1)
Проведем ВС1АС, тогда (2)
Сравнивая равенства (1) и (2), видим, что , т.е С=С1= 90, следовательно, ∆АВС – прямоугольный
Решение задач различными способами повышает интерес к изучению математики в целом. Не обязательно всегда записывать все способы решения, но намечать различные подходы важно и в воспитательном и в общеобразовательном отношениях.
Итог: рассмотрели два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, - чертеж плюс метод.