Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности
ГОБУ СПО ВО «Острогожский аграрный техникум»Презентация на тему «Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности» Специальность 230115 Программирование в компьютерных системахРазработчик Е.В. СизоваРассмотрена на заседании цикловой комиссииПротокол № ___ от _____ Председатель _________ Н.Н. РодныхОстрогожск 2013
Презентация предназначена дляиспользования на уроке. Представленная в презентации информация в наглядной и доступной форме способствуетизучению материала урока. Презентация может бытьиспользована студентами при самостоятельной подготовке. Презентация разработана с соблюдением авторских прав
Цели урокаразвитие аналитического мышления, самостоятельности и активности в применении знаний; воспитание чувства ответственности к учебе
Задачи - знать понятие числовой последовательности; - уметь вычислять пределы последовательностей
Предел последовательностиИзучение нового материала по вопросам 1.Определение числовой последовательности 2.Примеры3.Предел последовательности4.Свойства пределов последовательностиРассмотреть материал учебника §24 стр.137-143. Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011
Понятие числовой последовательностиРассмотрим ряд натуральных чисел N: 1, 2, 3, …, n – 1, n, n + 1, … Функцию y = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y1, y2, …, yn, … или (уn)Величина уn называется общим членом последовательности
Примеры числовых последовательностей1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN и т.д.С.137-138 Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011
Способы задания последовательностейПеречислением членов последовательности (словесно).Заданием аналитической формулы.Заданием рекуррентной формулы.Примеры: Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …Арифметическая прогрессия:an = a1 + (n – 1)dГеометрическая прогрессия:bn + 1 = bn ∙ q
Ограниченность числовой последовательностиПоследовательность (уn) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа Пример: -1, -4, -9, -16, …, -n2, … - ограничена сверху 0.Последовательность (уn) ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого n выполняется неравенство уп ≤ МЧисло М называют верхней границей последовательности
Ограниченность числовой последовательностиПоследовательность (уn) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.Последовательность (уn) ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уп ≥ mЧисло m называют нижней границей последовательностиЕсли последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью
Возрастание и убывание числовой последовательностиПоследовательность (уn) называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < … Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2n-1, … - возрастающая последовательность.Последовательность (уn) называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2n–1), … - убывающая последовательность.Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными
Возрастание и убывание числовой последовательностиРассмотреть примеры (1-3) последовательностейС.139 Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011
Предел числовой последовательности С.139 Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011(xn): 1, 1/2, 1/3, 1/4,, … , 1/n, …; Рис.112(yn): 1,3,5,7,9, … , 2n-1, …; Рис. 113(xn) сходящаяся последовательность(yn) расходящаяся последовательность
Предел числовой последовательности Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет пределЭто понятие имеет более строгое определение. Число b называется пределом числовой последовательности (уn): Читают: предел поледовательности (yn) при стремлении n к бесконечности равен bС.140 Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011
Предел числовой последовательности Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим соотношения:Если │q│< 1, то
Свойства пределовпредел частного равен частному пределов:предел произведения равен произведению пределов:предел суммы равен сумме пределов:постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Решить примеры:Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011, с.143
Образцы решения примеров:
Образцы решения примеров:
Если mN, kR, то
Закрепление материала:Выполнить упражнения: №24.1, 24.2, 24.15, 24.18, 24.19, 24.20 стр.67-70.Самостоятельная работа: стр.70 1 вариант: №24.21(а,в), 24.22(а,б). 2 вариант: №24.21(б,г), 24.22(в,г).
Домашнее задание: 1. Повторить конспект.2. Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011, §24 стр.137-143.3. Решить №24.3 стр.67, задачник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М., 2011.
Оцените свою работу на уроке по 10 балльной системе, последовательно отвечая на вопросы:Какая тема урока?Какие задачи мы сегодня решали?3. Как я усвоил материал?- получил прочные знания (9 – 10 баллов);- усвоил новый материал частично (7—8 баллов);- мало понял, необходимо еще поработать (4—6 баллов).4. Как я оцениваю свою работу? - работал очень активно (9—10 баллов);- активность работы средняя (7-8 баллов);- работал вяло, допускал много ошибок (4 – 6 балла).