Проект учителя математики МБОУ Сош №25 г. Махачкала республика Дагестан на тему Решение уравнений и неравенств содержащих знак модуля

МБОУ сош №25
Проект
на тему : «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля» Выступление на МО математиков сош №25
Проект подготовила : Абасова Луиза Габибуллаевна учитель математики МБОУ СОШ №25

Махачкала 2016г.

2

Содержание
Введение
Абсолютная величина и её свойства
Простейшие уравнения и неравенства с модулем
Графическое решение уравнений и неравенств с модулем
Метод раскрытия модулей
Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений
Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации
Применение теоремы о знаках при решении уравнений
Решение уравнений переходом к следствию
Решение уравнений методом интервалов
Решение уравнений домножением на положительный множитель
Заключение
Список использованных источников


3

Введение
Актуальность темы проектной работы следует из того, что данная тема применяется в различных разделах школьного курса математики и физики. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, на ЕГЭ.
Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел я пытаюсь восполнить в своем проекте. Кроме того, тема имеет не только широкую практическую, но и историческую значимость в науке. С термином «модуль» связаны такие имена великих математиков как Пифагор, Евклид. Например, еще в древней Греции понятие «модуль» явилось одним из связующих звеньев алгебры и практической геометрии. дипломной работы.
Цель проектной работы: «изучить, систематизировать теоретический материал по данной теме «Уравнения и неравенства с модулем» и разработать материал, который поможет учащимся более глубоко изучить и понять термин «модуль».
Задачи исследования:
поиск различных источников научной, методической и учебной литературы по теме;
определение теоретических основ изучаемой темы;
структурирование изученного материала;
подбор и разработка дидактического материала по теме;
создание учебно-дидактического средства обучению решения уравнений и неравенств с модулем на электронном носителе.
Объектом исследования данной проектной работы является процесс изучения одного из разделов элементарной математики: «Модуль и его приложения к решению уравнений и неравенств».
В качестве предмета исследования выбрано изучение теоретических, практических и методических особенностей избранной темы.
Гипотеза эмпирического исследования: использование в учебном процессе адаптированного мною материала, который будет представлен в форме рабочей программы и электронной версии учебного пособия, позволит улучшить условия для организации обучения школьников.
4
Эмпирическая часть.
Проект состоит из 4 глав.
В первой главе я привожу равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины. На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.
Во второй главе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей.
В третьей главе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое. В этом разделе рассмотрены построение графиков функций , и . Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины. Так же приведены примеры построения графиков функций с ``вложенными''модулями. Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.
В четвертой главе представлены дополнительные методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. В первую очередь описан трудоемкий и не всегда рациональный, а в некоторых случаях и неприменимый метод раскрытия модулей, иногда называемый метод интервалов, с помощью которого можно решить любое уравнение и неревенство с модулем. Описан метод использования тождества
5; рассмотрены метод геометрической интерпретации, использование тождества , применение теоремы о знаках, метод перехода к следствию, метод интервалов, метод домножения на положительный множитель.
Глава I. Модуль. Свойства модуля
Определение.Модуль числа илиабсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю и равна , если меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа ,
Теорема SEQ Theorem \* ARABIC 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или .
1. Если число положительно, то отрицательно, т. е. . Отсюда следует, что .
В этом случае , т. е. совпадает с большим из двух чисел и .
2. Если отрицательно, тогда положительно и , т. е. большим числом является . По определению, в этом случае, --- снова, равно большему из двух чисел и .
Следствие 1. Из теоремы следует, что .
В самом деле, как , так и равны большему из чисел и , а значит, равны между собой.
Следствие 2. Для любого действительного числа справедливы неравенства , .
Умножая второе равенство на (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .
Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа
6 равна арифметическому квадратному корню из : .
В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .
Если , тогда и и в этом случае .
Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на .
Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.
Если , то на координатной прямой существует две точки и , равноудаленной от нуля, модули которых равны.
Если , то на координатной прямой изображается точкой .
Свойства модуля

Из этого свойства следует, что ; .











Примеры решения простейших уравнений.

7
Пример Решим уравнение .
Решение.

Ответ..
Пример Решим уравнение .
Решение.

Ответ..
Пример. Решим уравнение .
Решение.

Ответ..
Глава II.
Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей).
Теорема 3. Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.
Пример Решить уравнение

Решение.Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение
8 равносильно системе:


Ответ..
Теорема4. Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.
Пример. Решить уравнение

Решение.``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .
Ответ..
К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных

9
переходов:

Примеры решения простейших неравенств.
Пример. Решим неравенство .
Решение.
.
Ответ..
Пример. Решим неравенство .
Решение.

Ответ..
Как ни странно, но достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.
Пример. Решить неравенство

Решение.

10


Ответ..
Пример. Решить неравенство

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем


Ответ..
Глава III.
Уравнения с модулями. Графический метод
Простыми уравнения с модулями называем уравнения вида
|x|=5; |x-3|=2; ||2x-1|-5|=3; |1-x|=4
в которых переменная входит однократно и линейно. Решать модульные уравнения можно как с помощью метода раскрытия модулей так и графически. В данной статье большое внимание будет уделено именно графическому методу раскрытия модулей. Для этого постепенно будет раскрыта суть преобразований с модулями. Таким образом удается решить множество тестовых задач в которых требуется найти количество решений уравнения с модулем. 11 Для наглядности приведем график модуль функции y=|x| ( "галочки")

Далее представим смещение графика модуль функции по оси Ox, например y=|x-7|. Такая запись означает что функция равна нулю когда дужка равна нулюx-7=0; –> x=7. Так что "галочка" переносится вправо на 7.

Если подмодульную функцию умножить на (-1) то график функции не изменится |7-x|=|x-7|.Если в модуле имеем суммирование |x+5| то смещение графика модуль функции выполняем в сторону отрицательных переменных

Самое интересное в вычислениях происходит когда имеем уравнение вида модуль в модуле||x|-6|, ||x|+3| Тогда выполняем перенос графика внутреннего модуля по оси вниз или вверх и симметричное отображение значений, которые идут ниже оси Oхвверх.

Следующая функция это модуль поднят вверх на три.
12

Далее, если в задании спрашивают "Какое количество корней уравнения  ||x|-6|=2?" то необходимо провести лишь линию y=2 и подсчитать количество точек пересечения с графиком модуль функции

Уравнение имеет 4 решения. Лучше решать графически уравнение с модулями на листке в клеточку, есть лучшая привязка к квадратикам. Задача в каждом из случаев сводится к смещению, отображения и параллельному переносу графика модуль функции |x|. Решим несколько примеров чтоб Вы понимали насколько эффективная методика графического раскрытия модулей.
Пример 1. Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3. Решение: Имеем задания типа модуль от модуля. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля

Далее параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y=|x-2|-5


13

Следующим шагом отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая модуль функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Нетрудно определить по рисунку что решениями уравнения с модулями будут значенияx=-6; x=0;x=4; x=10.На этом пример выполнен. Далее будет меньше детализации, однако суть алгоритма графического построения Вам будет понятен.
ПримПри каком значении параметра a уравнение с модулем 
||x-4|-2|=a-3 имеет три, четыре корня?
 Решение: Выполняем построение модулей, которые находятся в левой части уравнения

14
Из построения видим, если правая сторона уравнения с модулями равна 2 то имеем три точки пересечения. Если от 0 до 2 не учитывая краев –4 корни уравнения. Отсюда получим уравнение для определеения параметра
a-3=2; – > a=5.
и неровности
a-3>0; a>3; a-3< 2; a < 5 .
В итоге: уравнение имеет 3 корня когда параметр равен a=5 и 4 корня если параметр принадлежит интервалу a=(3..5).
В подобных примерах надо быть очень внимательными так как часто именно вопрос ставится так, чтобы помочь Вам или наоборот "навредить". Например: "Сколько положительных корней имеет уравнение с модулями?", "Найдите сумму решений уравнения", "Найдите наибольшее целое значение параметра" и тому подобные. Поэтому вдумчиво читайте что от Вас требуют, а уже потом приступайте к вычислениям.
Построение графиков вида , и
Отметим правило построения графика функции .
1) Строим сначала график функции .
2) Там, где график функции лежит выше оси или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси , заменяем симметричными им относительно оси точками.
Для примера, на рисунке изображен график функции .

Для построения графика функции cтроим график функции для и отображаем симметрично относительно оси .
Для примера, на рисунке изображен график функции .

15

Для построения графика функции строим график функции для и симметрично отображаем относительно оси .
Пример. Построить график функции .
Решение.Воспользуемся правилами преобразования графиков.
1. График функции --- биссектриса первого и третьего координатных углов.
2. График функции получается из графика функции отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.
3. График функции получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.
4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .
5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции.

Исследуемая функция допускает другую форму записи
16

Пример. В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения

Решение.Построим график функции

В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при нет корней, при --- бесконечно много корней, при --- четыре корня, при --- три корня, при --- два корня.
Метод раскрытия модулей.
Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:
Пример. Решить уравнение

Решение.Это уравнение содержит более одного модуля.
Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.
1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .
2. Отметить эти точки на числовой прямой.
3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.
17
1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.
Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'', получим: .
При этом значении , выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и ``выйдет''из модуля со знаком ``минус'', получим: .
Выражение получит значение и ``выйдет''из под модуля со знаком ``минус'': .
Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .
Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.
2) При . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.
Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.
3) При . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим,
18
что выражения и положительны, а --- отрицательно. Получим следующее уравнение: .
После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.
4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.
Ответ.,
Пример. Решить уравнение

Решение. Ответ.,

Глава IV.
Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации
Геометрический смысл выражения --- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.
Пример. Решим уравнение .
Решение.Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне
19
этого отрезка,--- нет.
Ответ..
Пример. Решим уравнение .
Решение.Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Ответ..
Применение теоремы о знаках при решении уравнений.
Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:
Теорема 5. Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.
Пример. Решить неравенство

Решение. Воспользуемся теоремой:

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Ответ.
Решение уравнений методом интервалов.
Применение метода интервалов основано на следующей
Теорема 6. Функция, непрерывная на промежутке и необ-ращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.
Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.
Пример. Решим неравенство
20

Пусть .
Областью определения данной функции есть . Решая уравнение , получим, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, , получаем, что функция принимает только положительные значения.
Ответ..
Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).
Решение уравнений домножением на положительное значение.
Пример. Решить неравенство

Решение.``Ловушка''заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые -- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:


21

Ответ.
Выводы: тема «Уравнения и неравенства с модулями» в теоритическом отношении очень богата. Данную тему можно использовать для развития познавательного интереса учащихся
Заключение
В данной проектной работе рассмотрены свойства абсолютных величин, приведены теоремы о равносильных преобразованиях уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Сформулированы малоизвестные утверждения, существенно упрощающие традиционные алгоритмические способы решения школьных, конкурсных и олимпиадных задач. Теоретический материал проиллюстрирован значительным количеством заданий из заданий ЕГЭ, математических олимпиад
Тема ``Абсолютная величина''(или ``Модуль числа'') является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль , любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.
22
Список использованных источников
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 1] Веременок В. В., Практикум по математикеке, подготовка к тестированию и экзамену/Веременок В. В., Кожушко В. В. --- Мн.: Тетра-Системз, 2006.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 2] Д. Гущин, Мощное решение. Уравнения и неравенства с модулями //Учительская газета №39.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 3] В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем // Математика №5, 2005 с. 24--31.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 4] В.Голубев, Школа решения нестандартных задач. Занятие 5. Сумма
модулей// Математика № 12, 2005 с.41--48.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 5] Тишин В. И., Математика для учителей и учащихся: рациональные алгебраические уравнения/ Тишин В. И. --- п. Комаричи, 2002. --- 167с.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 6] О. Игудисман, Математика на устном экзамене/ О. Игудисман --- М.: Айрис Пресс, Рольф, 2001---254с.