Комбинации многогранников и круглых тел

Тема: Комбинации многогранников и круглых тел.
Цели:
ознакомить учащихся с тремя способами решения задач на комбинацию многогранников и сферы;
развивать умение работать с чертежом, обобщать, сравнивать, переносить знания в новую ситуацию, активизировать мыслительную деятельность учащихся;
воспитывать творческий подход к решению задач, эстетическое восприятие чертежа.
Ход урока

Рассмотрение задачи С4; демонстрационного варианта 2008 года предложенным способом.
Рассмотрение решения данной задачи еще двумя способами - координатным и векторным. Выбор рационального способа решения для данной задачи.
Рефлексия. Решение задачи 1 (из вариантов КИМ ЕГЭ) с помощью учителя тремя способами. Выбор рационального способа решения для задачи 1.
Предложение задачи 2 для самостоятельного решения по группам 3 способами.
Подведение итогов урока

Ход урока.
I. В вариантах единого государственного экзамена часто встречаются задачи на комбинации многогранников и круглых тел. В частности, в демонстрационном варианте данного года предложена задача на комбинацию многогранника и сферы(С4).
Решим эту задачу тремя способами.
Задача. Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML.

1 способ.
Решение

1) Пусть О – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 как диаметр сферы. Поскольку точки M и
L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем (PMN =(PLN = 900 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.
2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда для объема пирамиды PNML имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. При этом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, только если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.
3) Поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и (TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть (TNK = (.
4) По свойству средней линии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. NT – высота треугольника MNL, значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
II. 2 способ(векторный).

Пусть ОМ, ОN, OL – взаимно перпендикулярные

координатные вектора. Разложим вектор NТ по координатным векторам:
NТ = NO + OM + MT = -ON + OM + Ѕ

(MO + OL) = -ON +
+ OM + Ѕ MO + Ѕ OL = - ON + OM - Ѕ OM

+ Ѕ OL = -ON + Ѕ OM + Ѕ OL

OL – вектор, перпендикулярный к плоскости PMN. Найдем скалярное

произведение векторов OL и NТ:

OL NT = OL (- ON + Ѕ OM + Ѕ OL) = -OL ON + Ѕ OL OM + Ѕ OL OL = Ѕ

|OL|І = Ѕ RІ
По определению скалярного произведения.

OL NT =
·OL
·
·NT
·cos
· = R
·NT
· cos
·, где
· - угол между векторами

OL и NT.
Тогда R
·NT
·cos
· = Ѕ RІ, 2
·NT
·cos
· = R,
13 EMBED Mathcad 1415

Найдем NT.
OL = ON = R, NL = R13EMBED Mathcad1415, 13 EMBED Mathcad 1415

·TNL – прямоугольный, тогда NT = 13EMBED Mathcad1415 , NT = 13EMBED Mathcad1415R.


Значит, 13 EMBED Mathcad 1415,

cos
· = 13EMBED Mathcad1415.
·cos
·
·= sin
· =13EMBED Mathcad1415, где
· – угол между прямой NT и плоскость PMN.
Ответ: 13EMBED Mathcad1415.
3 способ(координатный).

Пусть ОМ, ОN, OL – взаимно
перпендикулярные координатные вектора.

Найдем координаты векторов NT и OL.
O(0,0,0), L(R,0,0), M(0,0,R), N(0,R,0), T(13EMBED Mathcad1415; 0; 13EMBED Mathcad1415 )13EMBED Mathcad1415

тогда OL (R; 0; 0), NT (13EMBED Mathcad1415; - R; 13EMBED Mathcad1415)

13 EMBED Mathcad 1415=13 EMBED Mathcad 1415, где
· – угол между векторами

NT и OL. Но cos
· = sin
·, где
· – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Значит, sin
· =13 EMBED Mathcad 1415. Ответ: 13 EMBED Mathcad 1415.
III. Мы рассмотрели три способа решения одной задачи. Предлагаю решить задачу 1 тремя рассмотренными способами и выбрать рациональный способ решения для данной задачи.
Задача 1.
Дана сфера радиуса 5. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с центром О1. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 3. Точка Т выбрана на сфере, а точки K, L, M, N – последовательно на окружности сечения так, что объем TKLMN пирамиды наибольший. Точка А – середина ребра TL. Найдите косинус угла между прямыми О1A и LM.
Решение.
1 способ.
1)Объем пирамиды TKLMN – наибольший, когда KLMN – квадрат, а высота пирамиды равна TO1, где Оє TO1. В этом случае площадь основания пирамиды наибольшая и высота пирамиды наибольшая. Чтобы найти косинус угла между прямыми O1A и LM, проведем O1D
·LM. При этом O1D = Ѕ LM как средняя линия
·KLM. Опустим перпендикуляр AS на DO1, т.е. AS
· DO1 тогда

13EMBED Mathcad1415,
где
· – угол между прямыми O1A и DO1., УГОЛAO1S =
·.
2)Рассмотрим прямоугольный
·OO1N. OO1 =3 по условию, ON = R = 5. Тогда O1N =
= 4. LN = 2 O1N = 8; LM = 13EMBED Mathcad1415 ; DO1 = 13EMBED Mathcad1415.
3)
· KTO1 - прямоугольный, O1T = 8, KO1 = 4. Тогда TK = 13EMBED Mathcad1415. AD = Ѕ TK как средняя линия
·TLK, AD = 13EMBED Mathcad1415
4)
· ADO1 – равнобедренный, AD = AO1 = 13EMBED Mathcad1415,т.к. AO1. – медиана прямоугольного
·TDO1 , опущенная из вершины прямого угла. В равнобедренном
· ADO1 AS – высота и медиана, поэтому DS = SO1 = Ѕ DO1 = 13EMBED Mathcad1415
5) Значит, cos
· = 13EMBED Mathcad1415, cos
· = 13EMBED Mathcad1415 .Ответ: 13EMBED Mathcad1415
· .13EMBED Mathcad1415
2 способ(векторный).

Пусть O1L, O1M, O1T - взаимно перпендикулярные координатные вектора, а
· –


угол между векторами ML и O1A . Найдем cos
·. Найдем скалярное

произведение векторов ML и O1A по определению скалярного произведения и разложив эти векторы

по координатным векторам O1L, O1M, O1T.



ML O1A =
·ML
·
·O1A
·cos
·,
·ML
·= 13EMBED Mathcad1415,
·O1A
·=

ML O1A = 13EMBED Mathcad1415cos
·.

С другой стороны O1A =1/2 (О1L + O1T),

ML = MO1+O1L = -O1M + O1L, тогда O1A ML = (-O1M+O1L)( Ѕ O1L+ Ѕ O1T)=

- ЅO1M O1L – Ѕ O1T O1M + Ѕ O1L O1L+Ѕ O1T O1L = Ѕ
·O1L
·І = 8,
т.к.
·O1L
·=4. Значит, 13EMBED Mathcad1415cos
· = 8, cos
· = 13EMBED Mathcad1415.

·cos
·
·= sin
·, sin
· = 13EMBED Mathcad1415. Ответ: 13EMBED Mathcad1415.
3 способ(координатный)

Поместим пирамиду TLMNK в систему координат так, что О1 – начало

координат, а оси координат направлены по векторам 01L, O1M, O1F. Найдем


координаты векторов LM и O1A. KO1=O1N=O1M=O1N=4 тогда L(4;0;0),

M(0;4;0) LM (-4;4;0). O1(0;0;0).
Спроектируем точку А на плоскость квадрата и найдем ее координаты.
·ALO1 - равнобедренный, AO1=AL, поэтому AS - медиана
·ALO1 , т.е. O1S = 2.

AS = Ѕ TO1, как средняя линия
·TLO1, AS=4. A(2;0;4), O1A(2;0;4),
· = O1A^LM.
cos
· = 13EMBED Mathcad1415; cos
· = 13EMBED Mathcad1415. Ответ: 13EMBED Mathcad1415.

IV. Предложение задачи 2 для самостоятельного решения.
Задача2.
Дана сфера радиуса 8, с центром в точке О. В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка выбрана F на сфере, а точки A,B, C,D - последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Найдите синус угла между прямой и плоскостью AFB.
Решение.
1 способ.
1) Объем пирамиды FABCD наибольший, когда наибольшими будут площадь основания и высота пирамиды. Площадь основания наибольшая, когда ABCD – квадрат. Высота пирамиды наибольшая, когда h=FO1, Oє FO1.
2)Прямая OA - наклонная по отношению к плоскости ABF. Опустим из точки О перпендикуляр на плоскость ABF: OK
· ABF, KєFT т.к.
·ABF – равнобедренный, FT
· AB.
Тогда уголOAK - угол между прямой AO и плоскостью ABF, sin углаOAK = 13EMBED Mathcad1415
3) В прямоугольном
·O1DO OD = R=8, OO1 = 4, тогда DO1 = 13EMBED Mathcad1415.
AB = 13EMBED Mathcad1415, AT = Ѕ AB, AT = 13EMBED Mathcad1415.
4) В прямоугольном
·O1TF O1F = 12, O1T = 13EMBED Mathcad1415, тогда FT = 13EMBED Mathcad1415.
5) Рассмотрим прямоугольные треугольники FO1T и FOK. Они имеют общую вершину F, тогда
· O1FT
·
·OFK . Имеем: 13EMBED Mathcad1415 , ОК = 13EMBED Mathcad1415 . Значит,
sin угла OAK = 13EMBED Mathcad1415 sin угла OAK = 13EMBED Mathcad1415 . Ответ: 13EMBED Mathcad1415 .
2 способ(векторный).
Поместим пирамиду FABCD в систему координат так, что О1 – начало

координат, O1A, O1B, O1F – координатные вектора. Синус угла (sin
·) между прямой AO и плоскостью AFB равен модулю косинуса угла между направляющим вектором



прямой AO и вектором KO, перпендикулярным к плоскости AFB(cos
·).
Чтобы найти косинус угла между прямой AO и плоскостью AFB, рассмотрим скалярное произведение вектора AO и вектора KO , перпендикулярного к плоскости AFB.

KO AO =
·KO
·
·AO
·cos
·.

·KO
·= 13EMBED Mathcad1415;
·AO
·= R =8, KO AO = 13EMBED Mathcad1415cos
·.
Из прямоугольного
·OKF FK = 13EMBED Mathcad1415, FT = 13EMBED Mathcad1415. Тогда 13EMBED Mathcad1415.

Разложим вектора AO и KO по координатным векторам.

AO = AO1+OO1=-O1A+1/3O1F.

KO=KF+FO=4/7 TF-2/3 O1F=4/7 (O1F-O1T)- 2/3 O1F=-2/21O1F- 4/7O1T=-2/21O1F-

4/7*1/2 (O1A+O1B)= -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B.

KO AO = (-O1A+1/3O1F)( -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B)= 2/7
·O1A
·І-2/63
·O1F
·І.
Учитывая, что
·O1A
·= 13EMBED Mathcad1415
·O1F
·=12, имеем: KO AO = 13EMBED Mathcad1415.
Тогда 13EMBED Mathcad1415cos
· = 13EMBED Mathcad1415, cos
· = 13EMBED Mathcad1415. sin
· =
·cos
·
·, sin
· = 13EMBED Mathcad1415.Ответ: 13EMBED Mathcad1415.
3 способ(координатный).
Поместим пирамиду FABCD в систему координат, так что О1 – начало координат, а оси координат



направлены по векторам O1M, O1T, O1F , где M и T середины ребер AD и AB соответственно. Найдем координаты векторов

KO и. AO.
Спроектируем точку К на плоскость квадрата и
найдем ее координаты.

К1 – проекция точки К на плоскость квадрата, K1єO1T, O1K1=KS, где KS
· OF.

·FOK – прямоугольный, KS- высота, опущенная из вершины прямого угла,
13EMBED Mathcad1415. OK = 13EMBED Mathcad1415, FK = 13EMBED Mathcad1415; KS = 13EMBED Mathcad1415= O1K1.

·OSK – прямоугольный: OS = , OS = 13EMBED Mathcad1415.
O1S = 13EMBED Mathcad1415, O1S = 13EMBED Mathcad1415.
Тогда K(0; 13EMBED Mathcad1415; 13EMBED Mathcad1415), O(0;0;4)
KO(0; 13EMBED Mathcad1415; 13EMBED Mathcad1415).
A(13EMBED Mathcad1415;13EMBED Mathcad1415;0), AO(13EMBED Mathcad1415;13EMBED Mathcad1415;4).

13EMBED Mathcad1415

sin
· = cos
· = 13EMBED Mathcad1415. Ответ: 13EMBED Mathcad1415.
V. Подведение итогов урока.
VI.Задание на дом. Решить 3 способами задачу из КИМ ЕГЭ: В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами АВ=АС=4, ВС=4
·3 . Ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найдите радиус описанного около пирамиды шара, если радиус вписанного шара равен 2
·3
5

·









13PAGE 15


13PAGE 14215



13 EMBED Word.Picture.8 1415

































































M



L



P



N



O



T







M



L



P



N



O



T







T



M



L



N



O1







K

O



T



M



L



N



O1







K

O



T



M



L



N



O1







K

O



F



A



D



B



O1







C

O



F



A



D



B



O1







C

O



F



A



D



B



O1







C

O



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native  Ж% 13 15 + (