Учебная карта урока Применение производной к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Учебная карта
Математика 10 класс
Этапы Цель Приёмы достижения цели
Мотивация Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи.
Учащимся предлагается мотивирующая задача из раздела «Реальная математика». Например: вам необходимо огородить участок прямоугольной формы, какие размеры необходимо выбрать для того, чтобы обеспечить минимальные затраты и получение максимальной площади
Формулирование проблемы Самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.
Предлагается задача из курса математического анализа 10 класса:
Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей?
Сбор, систематизация и анализ фактического материала Провести достаточное число испытаний для получения необходимого фактического материала. Удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. – они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.
Осуществляется при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п. В нашем случае учащимся предлагается нарисовать различные прямоугольники, периметр которых равен 200м, найти площади этих прямоугольников и занести данные в таблицу

длина ширина периметр площадь
95м 5м 200м 475м2
90м 10м 200м 900м2
85м 15м 200м 1275м2
80м 20м 200м 1600м2
75м 25м 200м 1875м2
70м 30м 200м 2100м2
65м 35м 200м 2275м2
60м 40м 200м 2400м2
55м 45м 200м 2475м2
50м 50м 200м 2500м2
Выдвижение гипотезы Прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых учащимися гипотез.
Площадь участка будет наибольшей, если участок имеет форму квадрата
Проверка гипотезы Укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости.
Доказательство гипотезы Доказательство истинности гипотез получивших ранее подтверждение или ложность, которая может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки. Для доказательства истинности гипотезы составляем математическую модель: выделим оптимизируемую величину: в нашей задаче это площадь участка. Обозначим её S. Площадь зависит от измерений прямоугольника, объявим независимой переменной длину прямоугольникаи обозначим её х, ясно, что х>0. Так Р=200м, 0<х<100. Тогда ширина участка (100-х)м. Исходя из условия задачи выразим S через х. S(x)= x(100-x), xє(0;100).
Работа с составленной моделью.
На этом этапе надо найти наибольшее значение для функции S(x)= x(100-x)= 100х-х2, при xє(0;100). Так как, данная функция непрерывна на промежутке (0;100) и имеет внутри него единственную стационарную точку, то можно использовать следующую теорему: Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную точку х=х0. Тогда: а)если х=х0 – точка максимума, то унаибольшее=f(х0)
а)если х=х0 – точка минимума, то унаименьшее=f(x0).
В нашем случае х0=50, и х0- точка максимума, значит унаибольшее=f(50).
Мы выяснили, что размеры участка должны быть 50х50м, что подтверждает нашу гипотезу: площадь участка будет наибольшей, если он имеет квадратную форму.