Презентация по математике на тему «Вписанные и описанные многогранники в задачах ЕГЭ»

«Вписанные и описанные многогранники в задачах ЕГЭ»Презентацию подготовила: Седых Светлана ВениаминовнаУчительница математики МКОУ Бобровская средняя общеобразовательная школа № 1 “Природа говорит языком математики : буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры, ” – Г. Галилей 1.Нахождение объема вписанной в сферу пирамиды. В сферу объемом 36𝜋 вписана правильная шестиугольная пирамида. Расстояние от центра сферы до основания пирамиды равно 1. Найдите объем пирамиды. Решение (I случай):Рассмотрим случай, когда основание пирамиды лежит ниже центра сферы; тогда 𝑉пир=13𝑆осн∙h, h=𝑂1𝑆=𝑂𝑂1+𝑅сф ; 𝑉сф=36𝜋=43𝜋𝑅сф3 , отсюда 𝑅сф=336𝜋∙34𝜋=327=3, тогда h=1+3=4; 𝑆осн=12𝑛𝑅2𝑠𝑖𝑛2𝛾 (𝑛=6, 𝛾=180°6=30°, 𝑅=𝐴2𝑂2−𝑂𝑂12=32−12=3−1=8=22),𝑆осн=12∙6∙222∙𝑠𝑖𝑛60°=3∙8∙32=123, 𝑉пир=13∙123∙4=163; Решение (II случай) : Рассмотрим случай, когда основание пирамиды лежит выше центра сферы; тогда h=𝑂1𝑆=𝑂𝑆−𝑂𝑂1=3−1=2, 𝑉пир=13∙123∙2=83. Ответ : 163;83.  2. Нахождение угла наклона боковой грани пирамиды к основанию. Около шара описана правильная усеченная четырехугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше другого. Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.Решение :𝑆1=𝐴1𝐵1∙𝐴1𝐷1, 𝑆2=𝐴2𝐵2∙𝐴2𝐷2,  𝐴1𝐵1∙𝐴1𝐷1𝐴2𝐵2∙𝐴2𝐷2=9, т.к. усеченная четырехугольная пирамида правильная и описана около шара, то ее основания – квадраты, тогда 𝐴1𝐵12𝐴2𝐵22=9, 𝐴1𝐵1𝐴2𝐵2=3, 𝐻1𝐾1𝐻2𝐾2=3. Рассмотрим сечение 𝐻1𝐻2𝐾2𝐾1 : пусть 𝐻2𝐾2=𝑥, тогда  𝐻1𝐾1=3𝑥, 𝐻2𝑀2=𝑥2, 𝐻1𝑀1=3𝑥2, 𝑀1𝑁1=𝑥2,  𝐻1𝑁1=3𝑥2−𝑥2=2𝑥2=𝑥.Рассмотрим касательные к окружности 𝐻1𝐻2 и 𝐻2𝐾2, и радиусы 𝑂𝑀3 и 𝑂𝑀2 : 𝐻1𝐻2⊥𝑂𝑀3, 𝐻2𝐾2⊥𝑂𝑀2, 𝑂𝑀3=𝑂𝑀2, следовательно, что 𝐻2𝑀2=𝐻2𝑀3=𝑥2 (по свойству касательных проведенных из одной точки); теперь рассмотрим касательные 𝐻1𝐻2 и 𝐻1𝐾1, и радиусы 𝑂𝑀3 и 𝑂𝑀1 : 𝐻1𝐻2⊥𝑂𝑀3, 𝐻1𝐾1⊥𝑂𝑀1, 𝑂𝑀3=𝑂𝑀1, следовательно, что 𝐻1𝑀3=𝐻1𝑀1=3𝑥2; значит 𝐻1𝐻2=3𝑥2+𝑥2=4𝑥2=2𝑥.Рассмотрим ∆𝐻1𝐻2𝑁1 : cos∠𝑁1𝐻1𝐻2=𝐻1𝑁1𝐻1𝐻2=𝑥2𝑥=12, ∠𝑁1𝐻1𝐻2=60°. Ответ : 60°  3.Отношение отрезков диаметра описанной около пирамиды сферы. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера. Угол наклона ребра пирамиды к плоскости основания равен 60°. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, плоскость основания пирамиды делит диаметр сферы, проходящий через вершину пирамиды и точку пересечения медиан основания пирамиды. Решение :𝑂𝑆 – высота пирамиды. Продлим отрезок 𝑂𝑆 до 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆1 – диаметр сферы, ∠𝑂𝐴𝑆=60°, т.к. 𝐴𝑆 – наклонная, 𝑂𝑆 – перпендикуляр, 𝑂𝐴 – проекция. Рассмотрим диаметральное сечение сферы плоскостью 𝐴𝑆𝑂 :  ∠𝑆𝐴𝑆1=90° (т.к. опирается на дугу величиной 180°), значит ∠𝑂𝐴𝑆1=30°. Из ∆𝐴𝑆𝑂 : 𝑂𝑆=𝐴𝑂∙𝑡𝑔 60°=𝐴𝑂3. Из ∆𝐴𝑆1𝑂 : 𝑂𝑆1=𝐴𝑂∙𝑡𝑔 30°=𝐴𝑂3. 𝑂𝑆:𝑂𝑆1=𝐴𝑂3:𝐴𝑂3=3:1. Ответ : 3:1 Спасибо за внимание!