Методическая разработка раздела программы Логарифмическая функция
Управление образования, по делам молодежи и спорта
администрации Сеченовского муниципального района
Методическая разработка раздела программы«Логарифмическая функция»
Работу выполнила: учитель МБОУ Сеченовская СОШ
Кутырёва Елена Александровна
Сеченово
2014
Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u Пояснительная записка PAGEREF _Toc383377793 \h 3Цели и задачи раздела PAGEREF _Toc383377794 \h 5Психолого-педагогическое обоснование PAGEREF _Toc383377795 \h 6Ожидаемые результаты PAGEREF _Toc383377796 \h 8Характеристика раздела PAGEREF _Toc383377797 \h 10Технологии и формы организации учебной деятельности PAGEREF _Toc383377798 \h 15Логарифмическая функция в заданиях ЕГЭ. PAGEREF _Toc383377799 \h 19Результаты применения методик PAGEREF _Toc383377800 \h 20Календарно-тематическое планирование PAGEREF _Toc383377801 \h 21Методическая разработка урока PAGEREF _Toc383377802 \h 29Литература PAGEREF _Toc383377803 \h 32Приложение 1. Упражнения для устной работы PAGEREF _Toc383377804 \h 33Приложение 2 Канва-таблица "Логарифмическая функция" PAGEREF _Toc383377805 \h 35Приложение 3 Задания самостоятельных и контрольных работ. PAGEREF _Toc383377806 \h 36
Пояснительная запискаИзобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.П.С.Лаплас
Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны.
На всём протяжении XVI в. быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчётов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчётах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.
В результате появилось новое понятие в математике – логарифм. Понятие логарифма помогает установить обратную связь со степенью, построить единую теорию математики.
Тема "Логарифмическая функция" изучается на старшей ступени обучения и входит во многие задания единого государственного экзамена.
Следует отметить, что решение логарифмических уравнений и неравенств часто вызывает затруднения у школьников при подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Это, в свою очередь, требует повышенного внимания к данной теме.
Логарифмические неравенства встречаются учащимся как при решений заданий части В (как правило, это простейшие логарифмические неравенства), так и при решении заданий уровня повышенной сложности, встречающихся в части С. В последнем случае, задания требуют от учащихся уверенных навыков решения логарифмических неравенств, и наиболее рационально подходить к решению этих заданий в рамках функционального метода решения логарифмических неравенств.
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Цели и задачи разделаВ соответствии с общими целями преподавания математики в школе, сформулируем цели изучения логарифмической функции.
Обучающие:
сформировать понятие логарифма числа;
научить применять свойства логарифмов при решении уравнений;
изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Развивающие:
учить умению переносить ранее полученные знания на новый подобный объект (логарифмическую функцию);
На примере логарифмической функции показать межпредметные связи математики.
развитие математической речи;
развивать умение обобщать и классифицировать
Воспитательные:
воспитание ответственности, умения самостоятельно принимать решения;
воспитать организаторские и управленческие способности;
формирование навыков умственного труда.
Психолого-педагогическое обоснованиеРассматриваемая тема изучается на старшей ступени обучения. В связи с этим рассмотрим возрастные особенности детей подросткового возраста.
Старший школьный возраст охватывает период развития детей от 15 до 17 лет, что соответствует возрасту учеников 10-11 классов. К концу этого возраста школьник приобретает ту степень психической зрелости, которая достаточна для начала самостоятельной жизни, дальнейшего учения в ВУЗе или работы после окончания школы.
К концу старшего школьного возраста завершается характерный для подросткового возраста период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойный период физического развития, окончательно завершается половое созревание.
Учебная деятельность старших школьников значительно отличается по характеру и содержанию от учебной деятельности подростков. Дело не в том, что углубляется содержание обучения. Основное отличие в том, что учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их умственной активности и самостоятельности. Для того чтобы глубоко усваивать программный материал, необходим достаточно высокий уровень развития обобщающего, понятийного мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях, а не с нежеланием учиться.
Развитие познавательных интересов, рост сознательного отношения к учению стимулируют дальнейшее развитие произвольности познавательных процессов, умения управлять ими, сознательно регулировать их. В конце старшего возраста учащиеся в этом смысле овладевают всеми познавательными процессами (восприятием, памятью, воображением, а также вниманием), подчиняя их организацию определенным задачам жизни и деятельности.
Под влиянием специфической для старшего школьника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность старших школьников, характер их умственной работы. Все большее и большее значение приобретают уроки типа лекций, самостоятельное выполнение лабораторных и других практических работ, все чаще и чаще старшим школьникам приходится самостоятельно разбираться в изучаемом материале. В связи с этим их мышление приобретает все более активный, самостоятельный и творческий характер. Мыслительная деятельность старшеклассников характеризуется по сравнению с подростковым возрастом более высоким уровнем обобщения и абстрагирования, нарастающей тенденцией к причинному объяснению явлений, умением аргументировать суждения, доказывать истинность или ложность отдельных положений, делать глубокие выводы и обобщения, связывать изучаемое в систему. Развивается критическое мышление. Все это предпосылки формирования теоретического мышления, способности к познанию общих законов окружающего мира, законов природы и общественного развития.
Ожидаемые результатыВ результате изучения данной темы должны быть получены следующие результаты
учащиеся должны знать:
определение логарифма;
основное логарифмическое тождество;
свойства логарифмов;
определение и свойства логарифмической функции;
основные приемы решения логарифмических уравнений и неравенств.
уметь:
вычислять логарифмы (логарифмировать);
применять свойства логарифмов при вычислении логарифмов и упрощении выражений;
применять свойства логарифмов при решении простейших логарифмических выражений;
строить график логарифмической функции;
находить область определения и множество значений логарифмической функции;
применять свойства логарифмической функции при сравнении чисел, решении логарифмических уравнений и неравенств;
использовать микрокалькулятор для вычисления значений логарифмов.
понимать:
необходимость введения в математический аппарат понятия логарифма;
значение логарифмической функции для упрощения вычислений;
что логарифмическая функция является обратной к показательной функции;
понимать логарифмическую функцию как математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира.
Характеристика разделаТема "Логарифмическая функция" изучается в 10 классе. До этой главы в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т. е. выполнять новое для учащихся действие — логарифмирование. До появления компьютеров логарифмы широко использовались для упрощения ряда вычислений и детально изучались в школе. Теперь же их роль стала вспомогательной, а изучение в школе не столь подробным. Несмотря на это тема остается актуальной и достаточно широко представлена в заданиях Единого государственного экзамена.
Мы рассматриваем данную тему опираясь на учебник "Алгебра и начала математического анализа" Ю.М. Колягина (под ред. А.Б. Жижченко). Автор придерживается следующей схемы изложения темы: понятие логарифма→свойства логарифмов→логарифмическая функция→логарифмические уравнения→логарифмические неравенства.
В теме рассматриваются следующие дидактические единицы:
определение логарифма;
основное логарифмическое тождество;
свойства логарифмов;
десятичные логарифмы;
натуральные логарифмы;
формула перехода к новому основанию;
логарифмическая функция;
свойства логарифмической функции;
логарифмическое уравнение;
логарифмическое неравенство.
В тексте параграфа приводится два определения логарифма:
1. словесное описание: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить b.
2. символьное: alogab=b, а>0, а≠1, b>0.
Второе определение обычно называют основным логарифмическим тождеством.
В учебнике изучение темы начинается с рассмотрения показательных уравнений: 2x=16 и 2x=17. Если решение первого трудностей не вызывает, то со вторым проблема: как представить число 2 в виде некоторой степени числа 17. Между тем второе уравнение тоже имеет единственное решение, это хорошо видно из графической иллюстрации,- но как его записать, пока неизвестно. Возникает необходимость в записи такого вида чисел. Исходя из этого и вводится понятие логарифма.
Используя определение логарифма, можно подвести учащихся к самостоятельному выводу и обоснованию следующих формул: logaa=1, loga1=0, logaac=c. Показать учащимся на конкретных примерах, что логарифмирование - это операция обратная по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.
В качестве определения логарифма, можно дать и следующую запись: logab=с⟺ac=b, а>0, а≠1, b>0. Приведенная формулировка поможет учащимся понять процесс вычисления логарифма (действия логарифмирования).
Свойства логарифмов вводятся с опорой на свойства степеней известные учащимся с 7 класса. Поэтому на этапе актуализации нужно включить устные упражнения на повторение свойств степени. например:
1. Представить в виде степени: 1) a2∙a3; 2) (a6)2; 3) a12:a4; 4) a8∙a-3a-5.
2. Заполнить пропуски: 1) 3=4∎; 2) 16=3∎.
А поскольку логарифм мы определили как показатель степени, то он должен обладать всеми свойствами справедливыми для степеней. Доказательство свойств происходит по одной и той же схеме: переход от логарифма к степени→применение соответствующего свойства степени→применение определения логарифма. В учебнике приведены три основных свойства логарифмов (логарифм произведения, логарифм частного, логарифм степени), а свойство вынесения степени из основания логарифма дано в задачах к §2 с пометкой "для изучения на профильном уровне", но желательно познакомить с ним и учащихся классов базового уровня.
Также при изучении свойств логарифмов обязательно нужно обращать внимание на условия существования логарифма, особенно при использовании свойств логарифма в виде: logcab=…, logcba=… . В этом случае область существования логарифма расширяется и возникает необходимость в использовании знака модуля.
Понятие десятичного логарифмов вводится описательно. Необходимость его введения обосновывается тем, что при составлении таблицы логарифмов основание 10 является наиболее удобным, так как мы пользуемся в расчетах десятичной системой счисления. В силу традиций и удобства их использования оно до сих пор применяются в практике.
Однако для математической науки и ее приложений более значимыми являются натуральные логарифмы. Понятие натурального логарифма также вводится описательно. Но при этом не объясняется, что из себя представляет число e, а только говориться, что это иррациональное число и e≈2,7, более подробно о получении этого числа будет говориться в 11 классе при изучении пределов.
Чтобы обосновать необходимость введения этих понятий следует обратиться к исторической справке, приведенной к конце главы. С этой же целью показывается практическое применение введенных понятий: для вычисления значения с применением микрокалькулятора.
Отсюда вытекает вопрос о вычислении на микрокалькуляторе логарифма по любому основанию, что дает предпосылку для вывода формулы перехода к новому основанию logab=logcblogca, а>0, а≠1, b>0, c>0, c≠1. Предложив учащимся от logab перейти к логарифму по основанию b получаем формулу logab=1logba. Выражая logab через логарифмы по основанию 10 и e получаем возможность вычислять на микрокалькуляторе логарифмы по любому основанию.
Понятие логарифмической функции вводится конструктивно. Для изучения и выявления свойств логарифмической функции, особенно в слабом классе, желательно построить графики функций, например, y=log2x и y=log12x. Опираясь на определение логарифма и вид графиков, выявить области определения функций и множества их значений, убедиться в том, что графики проходят через точку (1; 0), сделать выводы о монотонности каждой из функций, определить промежутки знакопостоянства. Затем можно перейти к рассмотрению свойств логарифмических функций y = loga x двух видов: при a > 1 и при 0 < a < 1, используя при этом рисунок учебника или построенные графики.
После изучения свойств логарифмической функции доказывается теорема о том, что если равны логарифмы и равны и выражения стоящие под знаком логарифма. Эта теорема позволяет решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства.
Здесь же говорится о том, что логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными. Можно попросить учащихся найти функцию, обратную к логарифмической самостоятельно, т.к. алгоритм нахождения обратной функции им известен.
Основу решения логарифмических уравнений и неравенств составляют уже известные учащимся общие приемы решения уравнений и неравенств (действия с членами и частями уравнения, замена обозначения, разложение на множители части уравнения, метод подстановки при решении систем). Типов логарифмических уравнений очень много и учащиеся должны понимать, что в тексте учебника все их разобрать невозможно. Учащиеся профильных классов большую часть времени занятий на уроках и дома должны уделять самостоятельному поиску решений комбинированных и нестандартных задач, а заданий репродуктивного уровня должны решать как можно меньше. Тем более умение работа с литературой - это одно из умений, которое должно быть с формировано у учащихся профильных классов.
Существует несколько методических подходов к решению логарифмических неравенств: либо с помощью перехода к неравенству, решение которого совмещается с найденной областью определения исходного неравенства, либо с помощью перехода к равносильной системе. Практика показывает, что при втором подходе учащиеся допускают меньше ошибок.
При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются различные их преобразования. При этом часто нарушается равносильность. Поэтому при решении логарифмических уравнений необходима проверка найденных корней, а при решении логарифмических неравенств нужно следить за тем, чтобы равносильность не нарушалась, так проверку решения неравенства осуществить сложно, а в ряде случаев невозможно.
Технологии и формы организации учебной деятельностиПри изучении данной темы возможно применение разных форм организации обучения.
Общие формы обучения делятся на фронтальные, коллективные, групповые, парные, индивидуальные, а также со сменным составом учеников.
Фронтальное обучение применяется при работе всех учащихся над одним и тем же содержанием или при усвоении одного и того же вида деятельности и предполагает работу учителя со всем классом в едином темпе, с общими задачами. При фронтальных формах обучения управление деятельностью учащихся со стороны учителя очевидно.
Коллективная форма обучения отличается от фронтальной тем, что учащиеся класса рассматриваются как целостный коллектив со своими лидерами и особенностями взаимодействия.
В групповых формах обучения учащиеся работают в группах, создаваемых на различной основе и на различный срок. Групповые формы эффективны в группах с участниками различного уровня подготовки и мотивации. усвоение знаний и умений происходит результативнее при общении учащихся с более подготовленными товарищами.
В парном обучении основное взаимодействие происходит между двумя учениками, которые могут обсуждать задачу, осуществлять взаимообучение и взаимоконтроль. часто для учащегося помощь товарища оказывается полезнее, чем помощь учителя.
Индивидуальная форма обучения подразумевает взаимодействие учителя с одним учеником (репетиторство, тьюторство, консультации и т.д.).
Метод обучения - это система регулятивных принципов и правил организации педагогически целесообразного взаимодействия педагога и учащихся, применяемая для определенного круга задач обучения, развития и воспитания. (М.И. Махмутов).
При организации уроков по рассматриваемой теме возможно применение следующих методов обучения.
Объяснительно-иллюстративный метод, основное назначение которого состоит в организации усвоения учащимися знаний в готовом виде. Учитель сообщает готовую информацию разными средствами, а учащиеся воспринимают, осознают и фиксируют в памяти эту информацию. Объяснительно-иллюстративный метод относится к наиболее экономным способом передачи накопленного человечеством обобщенного и систематизированного опыта подрастающему поколению. Учитель сообщает информацию с помощью устного слова (объяснение, рассказ, лекция), печатного слова (учебник), наглядных средств (картины, кино- и диафильмы, схемы, натуральные объекты в классе и во время экскурсии), практического показа способов деятельности (способа решения задачи, доказательства теоремы и т.д.). Этот метод включает рассказ, лекцию, объяснение, использование и изучение литературы, использование наглядных средств, и т.п. Он тренирует память, даёт знания, но не способствует развитию творческого мышления.
2. Репродуктивный метод, главным признаком которого является воспроизведение и повторение способа деятельности по заданиям учителя. Данный метод характеризует не только деятельность ученика, но и предполагает организующую, побуждающую деятельность учителя. С целью повышения эффективности репродуктивного метода разрабатываются системы упражнении, а также программированные материалы, обеспечивающие обратную связь и самоконтроль. Важную роль при осуществлении данного метода играет алгоритмизация, когда ученикам предлагается определенный алгоритм, т.е. правила и порядок действий, в результате выполнения которых ученик распознает объект, выясняет его наличие и одновременно осуществляет определенный порядок действий.
3. Проблемное изложение (используется главным образом на лекции, в ходе работы с книгой, экспериментирования и т.д.) заключается в том, что учитель ставит проблему, сам ее решает, показывая при этом путь решения в его подлинных, но доступных учащимся противоречиях. Учитель показывает образцы научного познания, научного решения проблем, а учащиеся мысленно следят за его логикой, усваивая этапы решения целостных проблем. Результатом проблемного изложения является усвоение учеником способа и логики решения поставленной проблемы, но еще без умения применять их самостоятельно. Своеобразие этого метода заключается в том, что ученик не только воспринимает, осознает и запоминает готовые знания, но и следит за логикой доказательства, контролирует убедительность мысли учителя.
4. Частично-поисковый, или эвристический, метод состоит и том, что учитель организует участие школьников в выполнении отдельных этапов поиска, конструирует задание, расчленяет его на вспомогательные, намечает шаги поиска, а учащиеся осуществляют его самостоятельно, актуализируя наличные знания, мотивируя свои действия. Этот метод включает самостоятельную работу учащихся, беседу, лекции и т.д.
5. Большое значение при обучении математике имеет устная работа учащихся на уроке. Постоянное проведение на уроках математики устных вычислений способствует повышению интереса к предмету, развивает наблюдательность, внимание, сообразительность, способствует сознательному усвоению учебного материала. Устные вычисления побуждают учащегося логически мыслить, иногда отступая от шаблонов, лишний раз повторить правила, законы, то есть теорию, так необходимую для прочного изучения любого предмета. Такая форма работы воспитывает самостоятельность, учит экономить время. Устные упражнения можно применять на различных этапах урока. На этапе актуализации знаний целью выполнения устных упражнений является подготовка к изложению нового материала.
6. Метод опережающего обучения. Одним из важнейших его компонентов является комментируемое управление, которое является важным моментом в организации труда учеников на уроке. Деятельностью класса на уроке руководит не только учитель, но и ученик, размышляя вслух и ведя за собой весь класс. Важным фактором метода опережающего обучения является использование учителем опорных схем. Включить каждого ученика в активную деятельность на всех уроках, довести представления по изучаемой теме до формирования понятий, устойчивых навыков помогают опорные схемы. Схема — опора мысли ученика, его практической деятельности, связующее звено между учителем и учеником. Опорные схемы — это оформленные в виде таблиц, карточек, наборного полотна, чертежа, рисунка выводы, которые рождаются в момент объяснения. Опорные схемы отличаются от традиционной наглядности, являясь опорами мысли, действия.
Исходя из проведенного анализа темы и возрастных особенностей учащихся при изучении данного раздела целесообразно использование уроков следующих типов:
1. Урок изучения и первичного закрепления знаний (лекция, учебный практикум).
2. Урок закрепления знаний (практикум).
3. Урок комплексного применения ЗУН учащимися (практикум, семинар).
4. Урок обобщения и систематизации знаний (семинар).
5. Урок контроля, оценки и коррекции знаний учащихся (контрольная работа, зачет).
6. Комбинированный урок.
При изучении данного раздела возможно применение информационно-коммуникационных технологий как при организации работы по изучению нового материала, так и при организации практических занятий в форме семинаров и практикумов.
Это могут быть:
1. презентации с целью более наглядного преподнесения материала;
2. организация компьютерного тестирования с целью экономии времени и быстрой проверки первичных знаний учащихся;
3. демонстрация использования возможностей компьютера при вычислении логарифмов (при изучении десятичных и натуральных логарифмов);
4. реализация внутрипредметных и межпредметных связей рассматриваемой темы.
Логарифмическая функция в заданиях ЕГЭ.В заданиях единого государственного экзамена тема "Логарифмическая функция" представлена довольно широко.
1. В задании В7 Решение уравнений.
2. В задании В11 Вычисления и преобразования.
3. В задании В12 Прикладные задачи.
4. В задании С1 и С3 Уравнения и системы уравнений.
Большинство заданий на преобразование логарифмических выражений и вычисления из значений можно отнести к одной из следующих групп:
- упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов,
- упражнения на вычисление значение логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма.
Основная идея решения любого логарифмического уравнения - сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, а основными средствами реализации этой идеи являются следующие:
- равносильные преобразования,
- переход к уравнению-следствию,
- разложение на множители,
- замена переменной,
- применение свойств функций.
При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого нужно выразить одну переменную через другую и после подстановки получить уравнение с одной переменной. Кроме того, довольно распространены задачи на замену переменной в пределах одного или обоих уравнений системы и системы, требующие отбора решений.
Результаты применения методик2007-2008 гг. 10 в класс
2013-14гг. 10 в класс
2013-2014 гг. 10 б класс
Календарно-тематическое планирование№ Тип урока Вид контроля Требования базового уровня Требования повышенного уровня Оборудование
1 2 3 4 5
Тема раздела Логарифмическая функция Кол-во часов Базовый уровень (БУ) 15
Профильный уровень (ПУ) 17
Цели: см. раздел II.
Тема урока Логарифмы Кол-во часов 2 2
Цели: введение понятия логарифма числа; знакомство с применением основного логарифмического тождества к вычислениям и решению простейших логарифмических уравнений.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): определение логарифма;
основное логарифмическое тождество; логарифмическое уравнение.
1 Урок изучения и первичного закрепления знаний. -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы
Учащиеся ложны знать определение логарифма, основное логарифмическое тождество; уметь вычислять логарифмы. Компьютер
2 Урок закрепления знаний (практикум). - устный опрос;
-проверка домашней работы;
-самостоятельная работа Учащиеся должны уметь решать простейшие логарифмические уравнения, находить область существования логарифма. Карточки для самостоятельной работы.
Тема урока Свойства логарифмов Кол-во часов 2 2
Цели: изучение основных свойств логарифмов и формирование умений их применения для преобразования логарифмических выражений.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): свойства логарифмов.
3 Урок изучения и первичного закрепления знаний. - устный опрос;
- проверка домашней работы;
-самоконтроль.
Учащиеся должны знать свойства логарифмов
1°. loga(bc)=logab+logac,
2°. logabc=logab-logac,
3°.logabr=rlogab. 4 Урок закрепления знаний (практикум). -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы
Уметь логарифмировать выражения и применять свойства логарифмов для нахождения значения выражения. Учащиеся должны знать свойства логарифмов
4°.logakb=1klogab; свойства логарифмов 1°-2° в виде
1°. loga|bc|=loga|b|+loga|c|,
2°. logabc=loga|b|-loga|c|. Тема урока Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода. Кол-во часов 2 3
Цели: введение понятия десятичного и натурального логарифмов, обучение применению формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): десятичный логарифм, натуральный логарифм, формула перехода.
5 Урок изучения и первичного закрепления знаний. - устный опрос;
- проверка домашней работы;
-самоконтроль. Знать определения десятичного и натурального логарифмов, формулу перехода; уметь применять формулу перехода для нахождения значения логарифмов с применением микрокалькулятора. Знать доказательство формулы перехода; частный случай формулы перехода logab=1logba. Компьютер
микрокалькулятор
6 Урок закрепления знаний (практикум). -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы Уметь выражать логарифмы через логарифмы по указанному основанию. Уметь решать логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным. Карточки для самостоятельной работы в классах базового уровня
7 Урок комплексного применения ЗУН учащимися (практикум) Уметь применять логарифмы для решения прикладных задач. Карточки для самостоятельной работы в классах профильного уровня
Тема урока Логарифмическая функция, ее свойства и график. Кол-во часов 2 2
Цели: обоснование свойств логарифмической функции и построение ее графика; демонстрация применения свойств логарифмической функции при сравнении значений выражений и решении простейших логарифмических уравнений и неравенств.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): логарифмическая функция, график логарифмической функции, свойства логарифмической функции логарифмическое неравенство.
8 Урок изучения и первичного закрепления знаний (урок-лекция) - устный опрос;
- проверка домашней работы;
-самоконтроль. Учащие должны знать определение логарифмической функции, ее свойства; уметь строить график логарифмической функции, определять ее свойства по графику. Уметь решать графически уравнения смешанного тира содержащие логарифмическую функцию; решать простейшие логарифмические неравенства Компьютер
Опорная схема
9 Урок закрепления знаний (практикум). -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы Учащиеся должны знать теорему; уметь применять теорему для сравнения чисел, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, находить область определения логарифмической функции при аналитическом задании. Учащиеся должны знать что логарифмическая функция являются обратной к показательной функции. компьютер
Тема урока Логарифмические уравнения. Кол-во часов 2 3
Цели: формирование умения решать различные логарифмические уравнения и их системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): определение логарифма; основное логарифмическое тождество; свойства логарифмов; десятичные логарифмы; натуральные логарифмы; формула перехода к новому основанию; логарифмическая функция; свойства логарифмической функции; логарифмическое уравнение.
10 Урок-лекция -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы Учащиеся должны уметь применять свойства логарифмов при решении уравнений, уметь делать проверку. Знать, что логарифмическое уравнение может не иметь корней. 11 Урок-практикум Учащиеся должны уметь решать логарифмические уравнения с использованием общих методов решения уравнений; решать системы логарифмических уравнений, знать, что логарифмическое уравнение может не иметь корней. Уметь решать логарифмические уравнения с переменной в основании. Карточки для организации групповой и индивидуальной работы
12 Комбинированный (ПУ) Уметь применять формулу перехода и ее частный случай при решении логарифмических уравнений, решать уравнения путём логарифмирования левой и правой частей. Тема урока Логарифмические неравенства. Кол-во часов 2 3
Цели: обучение решению логарифмических неравенств на основании свойств логарифмической функции.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): определение логарифма; основное логарифмическое тождество; свойства логарифмов; десятичные логарифмы; натуральные логарифмы; формула перехода к новому основанию; логарифмическая функция; свойства логарифмической функции; логарифмическое неравенство.
13 Урок-лекция -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы Уметь находить область допустимых значений неравенства; решать неравенства, используя свойства логарифмов; решать неравенства путем перехода к равносильной системе. 14 Урок-практикум Карточки для организации групповой и индивидуальной работы
15 Комбинированный (ПУ) Уметь решать логарифмические неравенства с переменной в основании. Карточки для самостоятельной работы
Тема урока Урок обобщения и систематизации знаний. Кол-во часов 2 1
Цели: повторить свойства логарифмов и логарифмической функции, их применение при вычислении числовых значений логарифмических выражений, сравнении значений логарифмической функции, решении логарифмических уравнений и неравенств.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): определение логарифма; основное логарифмическое тождество; свойства логарифмов; десятичные логарифмы; натуральные логарифмы; формула перехода к новому основанию; логарифмическая функция; свойства логарифмической функции; логарифмическое уравнение, логарифмическое неравенство.
16 Урок обобщения и систематизации знаний (консультация) -устный опрос
-самостоятельная работа
-самоконтроль
-взаимоконтроль
-проверка домашней работы Учащиеся должны знать ответы на вопросы базового уровня к главе; уметь решать задания рубрики "Проверь себя!" базового уровня. Учащиеся должны знать ответы на вопросы базового уровня к главе; уметь решать задания рубрики "Проверь себя!" базового уровня. Компьютер
Систематизирующая таблица
Раздаточный материал
17 Комбинированный Тема урока Контрольная работа Кол-во часов 1 1
Цели: проверить знания и умения учащихся по изученной теме.
Элементы содержания (дидактические единицы на основе образовательного стандарта): определение логарифма; основное логарифмическое тождество; свойства логарифмов; десятичные логарифмы; натуральные логарифмы; формула перехода к новому основанию; логарифмическая функция; свойства логарифмической функции; логарифмическое уравнение, логарифмическое неравенство.
18 Урок контроля, оценки и коррекции знаний учащихся (контрольная работа). Самостоятельная работа Карточки с заданиями
Методическая разработка урокаТема урока: Логарифмическая функция, её свойства и график.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа: учеб для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Ю.М. Колягин; под ред. А.Б. Жижченко. -М.: Просвещение.
Класс: 10 б,
Цели: обоснование свойств логарифмической функции и построение ее графика.
Место урока в логике раздела: 8 урок в разделе, первый урок в теме, на уроке строится график логарифмической функции, выясняются и обосновываются свойства логарифмической функции.
Оборудование: компьютер для демонстрации презентации, канва-таблица раздается всем учащимся.
Тип урока: школьная лекция (урок изучения и первичного закрепления знаний).
№ Этап Деятельность учителя Деятельность учащихся
1 Оргмомент. Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку. Приветствуют учителя.
2 Актуализация. Организует фронтальную работу по подготовке учащихся к восприятию нового материала.
- Что называется логарифмом числа?
- Вычислите: (слайд 1)
log216log28log24log22log1216log128log124log122- По графику функции (слайд 2) назовите:
1) значение аргумента, при котором значение функции равно 0;
2) координаты точки пересечения графика с осью ординат;
3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения;
4) промежутки возрастания (убывания) функции. Отвечают на вопросы учителя.
Выполняют задания.
3 Формулировка темы, цели урока -Вернемся к первому слайду. Сравните записи логарифмов в первом и втором столбце.
- Если выражение, стоящее под знаком логарифма обозначить за x, а значение логарифма за y , то мы установим соответствие. которое задает функцию y=logax, где a>0, a≠1.
Как можно назвать эту функцию?
-Сформулируйте тему и цели урока. Сравниваю и приходят к выводу, сто в каждом столбце записи похожи, при одинаковом основании меняется только выражение, стоящее под знаком логарифма.
(Выдвигают предположения.)
-Логарифмическая функция.
4 Изучение нового материала Учитель делит класс на два варианта.
Учащимся выдается канва-таблица см. приложение 2) и такая же появляется на слайде 3.
Вариант 1 работает с левым столбцом таблицы, вариант 2 - с правым.
Задание: заполнить таблицу, построить график функции, ответить на вопросы.
После выполнения задания учитель организует проверку и обсуждение результатов, полученных учащимися и заполняет общую таблицу на экране компьютера. Работают с таблицей.
Участвую в обсуждении результатов. Заполняют столбец другого варианта.
5 Первичное применение знаний Учитель организует фронтальную работу по решению следующих упражнений.
а) Задание на применение свойства 3.
№69(1,3). Сравнить числа:
1) log365 и log356; 3) log12e и log12π.
б) Задание на применение свойства 4.
№70(1,2). Выяснить, является положительным или отрицательным число:
1) log34,5; 2) log30,45.
в) Задание на применение свойств 3,4.
№71(1, 2). Сравнить с единицей число x, если:
1) log3x=-0,3; 2) log13x=1,7 .
г) Задание на применение свойства 3.
№72 (1,3). Выяснить, является возрастающей или убывающей функция:
1) y=log0.075x; 3) y=lgx.
д) Построение графика функции, обратная функция.
№84 (4). Решить графически уравнение: lgx=2-x. Учащиеся выполняют задания учителя.
6 Подведение итогов, выставление оценок -Итак, что нового вы узнали сегодня на уроке? Отвечают на вопрос учителя.
7 Домашнее задание Выдает домашнее задание.
Стр. 240-242 (до теоремы), №69 (2,4). 72(2,4), 75 (2,4). Записывают задание в дневники.
ЛитератураАлгебра и начала математического анализа: учеб для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин]; под ред. А.Б. Жижченко. -М.: Просвещение, 2008.
Григорьева Т.П., Иванова Т.А., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н. Основы технологии развивающего обучения математике: Учебное пособие. Н.Новгород: НГПУ, 1997.
Изучение алгебры и начал математического анализа в 10 классе: кн. Для учителя/ Н.Н. Федорова, М.В. Ткачева. –М.: Просвещение, 2008.
Крутецкий В.А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ._М.: Просвещение, 1986.
Программы общеобразовательных учреждений Алгебра 7-9 кл. Сост. Бурмистрова Т.А. – М.: Просвещение, 2008
Ситаров В.А. Дидактика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений/Под ред. В.А. Сластенина. - М.: Издательский центр "Академия", 2004.
Справочник учителя математики/ авт.-сост. Н.А. Ким.- Волгоград: Учитель, 2011.
Зимняя И.А. Педагогическая психология.- М.: Логос, 2004.
Приложение 1. Упражнения для устной работыПри изучении логарифмической функции можно использовать следующие устные упражнения.
а) При введении понятия логарифма.
1. Решить уравнение:
1) 2x=8; 2) 2x=14; 3) 12x=16; 4) 2x=1; 5) 2x=-2; 6) 12x=0.
2. С помощью графика функции y=2x найти приближенные значения корней уравнения: 1) 2x=23; 2) 2x=3; 3) 2x=6.
б) При изучении логарифмической функции.
1. Выяснить, при каких значениях x имеет смысл выражение:1) 0,3x; 2) log0,3 x; 3) log3 x2; 4) logx 1,5; 5) log| x | 15.
2. Найти y, если :1) ln y = 1; 2) lg y = 0; 3) lny= 1 2 ; 4) lg y = − 2.
3. Записать каждое из чисел 0; 1; −1; 2; 1 2 ; − 1 2 в виде логарифма по основанию 5.1) 10x = 1000; 2) e x = 1 e ; 3) 2x = 3; 4) 10x = 7.
5. Решить неравенство:1) 6x > 6−3; 2) 0,1x ≥ 0,12; 3) 10lg x > −15; 4) eln x < eln 0,3; 5) 10lg x > 10lg 2; 6) 12log12x<2.
в) При изучении логарифмических уравнений.
1. Решить уравнение: 1) 2x = 32; 2) 2x = 0,5; 3) 2x = 7; 4) 2x = −2; 5) 2log29=x+1 . 2. Вычислить: 1) log2 48 − log2 3; 2) log64+log6124; 3) log54125 . 3. Решить уравнение: 1) log23x=-2 ; 2) logx 9 = 2; 3) logx 1 = 0; 4) log8 log3x = 0.
г) При изучении логарифмических неравенств.
1. Записать каждое из чисел: 1) 1; 0; −1; 1 3 в виде логарифма по основанию 2; 2) −3; −1; 0; 1 2 ; 1 в виде логарифма по основанию 1 3 . 2. Найти область определения функции: 1) y = lg (x + 1); 2) y = log5 (3 − x); 3) y = ln x2; 4) y=log13(x2+1) . 3. С помощью графика функции y = log2 x (рис. 24) решить неравенство:
1) log2 x > 0; 2) log2 x ≥ 1; 3) log2 x ≤ 0; 4) log2 x < 1. 4. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция: 1) y = logπ x; 2) y = lg x; 3) y=log1ex . 5. Среди соотношений x < 3, x > 3, 0 < x < 3 выбрать решение неравенства: 1) log5 x > log5 3; 2) log5 x < log5 3; 3) log15x>log153 ; 4) log15x<log153 .
Приложение 2 Канва-таблица "Логарифмическая функция"Логарифмическая функция
y=log a x, a>0, a1
График
y=log 2 x
x 1 2 4
y
x
y
y=
x 1 2 4
y
x
y
1. Область определения
2. Множество значений
3. Монотонность
возрастает при
убывает при
4. Если 0<x <1, то
Если x >1, то 4. Если 0< x<1, то
Если x >1, то
Если x=1, то y=loga1=
График пересекает ось Ох в точке
5. Обратная функция
Приложение 3 Задания самостоятельных и контрольных работ.Урок 2. Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. Вычислить: 1) log55 ; 2) log 15125 ;
3) 102log109; 4) 52+log53 2. Выяснить, при каком значении x имеет смысл выражение log12(7-x).
3. Решить уравнение:1) log3 (x + 1) = 4 ; 2) log x 81 = 4 . Вариант 2
1. Вычислить: 1) log44 ; 2) log4164;
3) 53log54; 4) 121+log127 2. Выяснить, при каком значении x имеет смысл выражение log0,3(5-x).
3. Решить уравнение:1) log4 (x − 5) = 3; 2) logx 81 = 4 .
Урок 6 (7 для ПУ). Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. Вычислить:
1) log213-log2158;
2) log164+log169;
3) log15225.
2. Зная, что lg2≈0,301, а lg5≈0,699, найти log235 с точностью до 0,01.
3. (Для ПУ). Решить уравнение.
log32x+5log9x-1,5=0. Вариант 2
1. Вычислить:
1) log0,15+log0,12;
2) log316-log340,5;
3) log135169.
2. Зная, что lg3≈0,477, а lg5≈0,699, найти log35 с точностью до 0,01.
3. (Для ПУ). Решить уравнение.
log32x-15log27x+6=0.
Урок 15 (ПУ). Самостоятельная работа.
Вариант 1.Решить неравенство:
1) log16(10-x)+log16(x-3)≥-1;
2) log32x-1-2log3(x-1)≤-1. Вариант 2.Решить неравенство:
1) log7(x-3,5)+log7(x-2)<1;
2) log152x+3+4log15(x+3)≤-4.
Урок 15(БУ) , 17(ПУ). Контрольная работа.
Вариант 1
1. Вычислить:
1) log1216; 2) 51+log53; 3) log3135-log320+2log36.
2. Сравнить числа log3π34 и log3π45.
3. Решить уравнение log5(2x-1)=2.
4. Решить неравенство log13x-5>1.
5. Решить уравнение log8x+log2x=14.
6. Решить неравенство:
1) log16(10-x)+log16(x-3)≥-1;
2) log32x-2log3x≤3.
7 (Дополнительно.) Решить уравнение
log2x-1(3x-2)=3-2log3x-2(2x-1).
Вариант 2
1. Вычислить:
1) log3127; 2) 22+log25; 3) log256+2log212-log263.
2. Сравнить числа log4π58 и log4π67.
3. Решить уравнение log4(2x+3)=3.
4. Решить неравенство log12x-3>2.
5. Решить уравнение log3x+log9x=10.
6. Решить неравенство:
1) log12(x-3)+log12(9-x)≥-3;
2) log22x-3log2x≤4.
7 (Дополнительно.) Решить уравнение
log3x+1(2x+1)=1+2log2x+1(3x+1).