Конспект урока по геометрии на тему Перпендикулярность прямых и плоскостей (10 класс)
Урок № 64 геометрия 10 класс. 12.05.16.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
Расстояния между прямыми и плоскостями.
Цели урока:
Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики уже имеют по данной теме; активизировать работу по применению этих знаний для нахождения расстояний между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде.
Развивающие: формировать пространственное воображение, развивать логическое мышление, умение распознавать на чертежах пространственные формы; проводить доказательные рассуждения, делать выводы, используя необходимые теоремы и свойства фигур на плоскости и в пространстве.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к геометрии, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.
Тип урока: обобщение и систематизация.
Ход урока
Организационный момент
Зачитаю высказывание Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать Галилео Галилей я попрошу отметить на листочке рефлексии настроение начало урока есть ли описание вашего настроения
Подготовительный этап (5 мин.).
Определить сходство и различие на рисунках
Сходство две прямые перпендикулярные
Различие одна пара в плоскости, другая в пространстве
Отличительная характеристика параллельных прямых на плоскости перпендикулярные прямые могут только быть такими (под прямым углом и пересекаться в точке)
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются.
И так какова сегодня тема урока?
– Проверим домашнее задание. На переносной доске водными маркерами чертёж задачи, по чертежу ученик объясняет устно решение №13 стр. 94
Актуализация знаний, умений и навыков (2 мин.).
Итак на сегодняшнем уроке обобщающего повторения вспомним теоретический материал, который мы будем использовать сегодня на уроке при решении задач.
– Проверим знание формулировок тех теорем, которые будут использоваться сегодня на уроке (спрашивать с места по одному ученику): предлагаю провести ранжирование. На партах лежат рисунки найдите соответствие рисунка и прикрепите его к соответствующим теоремам: название теоремы записаны хаотично на доске:
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
– Если прямая пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым этой плоскость, проходящим через точку пересечения , то она перпендикулярна к этой плоскости.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
– Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Теорема о трех перпендикулярах
– Прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярная к проекции наклонной , перпендикулярна и к этой наклонной.
Обобщение и систематизация (10 мин.).
– Тема урока: «Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.
Расстояния между прямыми и плоскостями многогранников.
– Сначала вспомним и систематизируем все, что вы уже знаете о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. Для этого посмотрим на экран.
На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется заголовок и рисунок. Ученики сами отвечают, формулируя определения соответствующих расстояний. После этого на слайде по щелчку мыши появляется формулировка.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
V. Отработка знаний, умений и навыков по теме (21 мин.).
– Теперь давайте устно решим несколько простых задач, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде.
На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики находят расстояние и объясняют, почему именно оно является искомым.
Пример. Дан куб ABCDA 1B 1C 1D1 .
Найти угол между прямыми AC и B 1D 1 .
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13
· SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Замечание: если возникнут трудности при решении этой задачи, то ее решение нужно законспектировать в тетрадь.
– Следующие две задачи требуют более подробного решения, поэтому их решение мы запишем в тетрадях.
На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики обсуждают условие задачи и указывают, какой отрезок будет искомым расстоянием. При этом они должны доказать, опираясь на признаки перпендикулярности, почему это расстояние будет искомым.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пояснение к задаче.
В процессе обсуждения доказательства на слайде по щелчку появляются пункты решения и проводятся соответствующие построения на рисунке. При появлении последнего пункта решения на рисунке красным цветом выделяется искомый отрезок. После того как ученики вычислят нужное расстояние, появляется ответ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО
Задача: дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая AD - проекция прямой AS .
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике AD
·CE. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
AD
·CEAS
·CEAD
·CEAS
·CE .
И пишем ответ: 900.
Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).
В начале урока вспомнили основные теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Потом мы с вами систематизировали знания о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве.
Затем решили задачи, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде. В этих задачах использовали систематизированные выше знания о расстояниях.
Домашнее задание:
– №15,17. Повторить координаты и векторы в пространстве
Объявить оценки за урок.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14515
В кубе AD1 , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости ACC1.
H
a
·
A
Расстоянием между плоскостью и параллельной ей прямой называется длина перпендикуляра проведённого из любой точки прямой к плоскости
любой точки прямой к плоскости
Расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой
b
H
a
·
A
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми
называется длина их общего перпендикуляра
Расстояние между скрещивающимися прямыми13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415мися прямыми
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
Ответ:
В единичном кубе AD1 найдите расстояние от точки B до плоскости ADD1.
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
Ответ: 1.
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
В единичном кубе AD1 найдите расстояние между прямой CC1 и плоскостью ADD1.
6
4
8
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
Ответ: 4.
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между плоскостями BCC1 и ADD1.
Ответ: 8.
6
4
8
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми BC и B1C1.
Ответ: 6.
6
4
8
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между прямыми AB и CD1 .
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По теореме Пифагора из
·ADD1:
По теореме о трех перпенди- кулярах
4
6
8
D
C
D1
C1
B1
A1
B
A
В прямоугольном параллелепипеде AD1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние от точки D1 до прямой AB.
Ответ: 10.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В кубе AD1 , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости ACC1.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
Ответ: 1.
O
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ответ: .
O
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Перпендикулярность в пространстве рисРисунок 1Перпендикулярность в пространстве рис. 1признак перпендикулярности прямой и плоскостиРисунок 8признак перпендикулярности прямой и плоскостињFarebnй LCDLCD en colo