Элективный курс Универсальные математические методы решения задач

Пояснительная записка.
Элективный курс «Универсальные математические методы решения задач» призван помочь учащимся 10-11 классов успешно подготовиться к сдаче экзамена в форме ЕГЭ. Для верного и быстрого решения простых уравнений из части «В», в элективном курсе рассматриваются нестандартные методы решения уравнений и неравенств из школьного курса математики. При решении уравнений и неравенств из части «С», применяются нетрадиционные методы. Это позволит выпускникам повысить уровень логического мышления и проявить творческие способности.
Цели и задачи элективного курса:
систематизировать и углубить знания по теме «Методы и приемы решения уравнений и неравенств»;
развить навыки исследовательской и познавательной деятельности учащихся.
подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.
В результате учения учащиеся должны знать и уметь:
Знать:
различные виды уравнений и неравенств;
основные методы решения уравнений и неравенств;
нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
Уметь:
работать с различными источниками информации, анализировать результаты, делать умозаключения;
предоставлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссии;
применять изученные алгоритмы для решения заданий и отстаивать свою точку зрения;
решать самостоятельно задания из единого государственного экзамена.
Задания с уравнениями и неравенствами, как правило, относятся к трудным и носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких заданий недостаточно. Расширяя математический кругозор, программа совершенствует технику решения сложных заданий.
Данный курс отличает вариативные возможности включения задач, в зависимости от уровня подготовленности учащихся, так, например, подбор заданий для учащихся 11классов, при тех же методах решений, расширен классом показательных и логарифмических уравнений.
Элективный курс рассчитан на 1час в неделю, всего 34 часа.
Содержит три главы:
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства и их системы.
Глава 2. Иррациональные уравнения и неравенства.
Глава 3. Решение уравнений и неравенств с параметром.
Главы разделены на отдельные темы.
Глава 1: Рациональные уравнения и неравенства и их системы.
В этой главе учащиеся учатся решать уравнения и неравенства высших степеней, решают уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Осваивают структуру работы с модулем. Знакомятся с утверждениями о равносильности систем уравнений. Каждая тема содержит изложение теории с поясняющими примерами. В конце каждой темы предлагается ряд заданий для самостоятельной работы с указанием ответов, помогающих закрепить теоретический материал, предлагается домашнее задание.
Глава 2: Иррациональные уравнения и неравенства.
В этой главе учащиеся учатся применять при решении иррациональных уравнений неравенство Коши. Знакомятся с нестандартными заменами при решении уравнений. Изображают решение систем неравенств на координатной плоскости. Рассматриваются тестовые задачи из КИМов ЕГЭ.
Глава 3: Решение уравнений и неравенств с параметром.
С понятием параметра учащиеся встречаются в курсе алгебры 7 класса. На ЕГЭ довольно часто предлагаются задачи с параметрами, но учащиеся не могут справиться с простейшими задачами, содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии у части их навыков решения задач с параметрами. Данный материал имеет большое образовательное значение.
Курс предполагает рассмотрение решений линейных уравнений и неравенств с параметрами, квадратных уравнений и неравенств с параметрами, иррациональных и тригонометрических уравнений с параметрами, а также решение систем уравнений и неравенств.
Данная программа дополняет и развивает школьный курс алгебры, а также ориентирован на удовлетворение потребностей учащихся, глубже интересующихся математикой. Решение заданий с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности. Задания с параметрами играют важную роль в формировании логического и аналитического мышления и математической культуры учащихся.
Предлагается лекционное изложение теоретического материала. Рассматриваются разнообразные и нестандартные уравнения и неравенства, а так же их системы.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Доминантной формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу.
Данный курс способствует: дальнейшему развитию умения формулировать суждения, обосновывать и доказывать их, развивая тем самым логическое мышление; формирование алгоритмического мышления, формированию умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.
Формой итогового контроля может стать зачетная работа, включающая задачи, рассмотренные на занятиях, самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения или защита с презентацией реферата.
Учащиеся в ходе освоения курса имеют возможность познакомиться с научно-популярной литературой и информацией из Интернета.
Для передачи теоретического материала наиболее эффективна будет лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, демонстрацией материалов. Формы занятий предусматривают творческую деятельность посредством выполнения творческих практических заданий.
Роль учителя в осуществлении учебной деятельности учащихся состоит в консультационной работе, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий.
Аттестация по курсу может проводиться в форме тестов, практических заданий поискового характера, самостоятельных заданий.
В программе курса указана литература для учителя и учащихся. Имеется тематический план, в котором изложены содержание программы, и методы изучения программного материала, также разработаны критерии оценок, имеются приложения.
Тематическое планирование
№ Темы Занятия, чвсего лекция практикум
1.1 Вводная беседа. Рациональные уравнения и неравенства.
3 1 2
1.2 Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком абсолютной величины.
4 1 3
1.3 Системы рациональных уравнений и неравенств.
3 3
2.1 Иррациональные уравнения.
4 1 3
2.2 Иррациональные неравенства.
4 1 3
2.3 Системы иррациональных уравнений и неравенств.
3 3
3.1 Линейные и дробно – рациональные уравнения с параметрами.
2 1 1
3.2 Иррациональные уравнения с параметрами.
2 1 1
3.3 Уравнения, содержащие параметр и модуль.
3 1 2
3.4 Неравенства с параметром.
5 1 4
4. Итоговый урок
1 1
Содержание учебного материала.
Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства и их системы.(10ч)
Занятие 1-3.
Знакомство учащихся с целями и задачами курса, его структурой. Тестирование учащихся с целью определения знаний, методов решения уравнений и неравенств.
Систематизировать методы решения рациональных уравнений и неравенств.
Методы решения рациональных уравнений:
уравнения сводятся к квадратным;
разложение высших степеней на множители;
угадывание корня уравнения;
использование симметричности уравнения;
Методы решения рациональных неравенств:
метод интервалов;
обобщенный метод интервалов.
Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль: Тестовая работа, «Задачи по математике» Т.И.Осипова стр.39 №2.150,2.146,2.142,2.174,2.172.
Занятие 4-7.
Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком абсолютной величины. Систематизировать методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотреть уравнения и неравенства вида:
1.
2. ,,
3.
Методы решения:
по определению;
возведение в квадрат;
метод интервалов;
нахождение ОДЗ;
применение свойств абсолютной величины.
Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: беседа, выполнение тренировочных заданий.
Контроль: самопроверка.
1. Подобрать олимпиадные задачи с модулем.
2. Составить и решить самостоятельно одно уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, под знаком модуля.
3. Дидактический материал часть 1 № 14, 18, 19, 39, 40, 47.
Занятие 8-10.
Решение рациональных систем уравнений и неравенств. Утверждения о равносильности систем уравнений.
Форма занятия: практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль: проверка самостоятельно решенных задач.
1. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике» 10 класс, стр.40-41 №172, 179, 192, 205, 215.
2. Сообщение «Олимпиадные задачи с применением свойств модуля».

Глава 2. Иррациональные уравнения и неравенства. (11ч)
Занятие 11-14. Методы решения иррациональных уравнений.
Методы решения иррациональных уравнений.
1. Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень.
2. Тождественные преобразования.
3. Введение новой переменной.
4. Применение неравенств Коши, Коши - Буняковского.
5. Применение монотонности функции.
Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль:
1. По страницам журналов «Квант», «Математика в школе» подобрать аналогичные уравнения (с целью поиска соответствующей информации) и решить.
2. Написать опорный конспект для решения иррациональных неравенств.
3.Дидактические материалы часть 2 № 82,84,87,92,100.
Занятие 15-18. Решение иррациональных неравенств.
Схемы решения основных иррациональных неравенств.



Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий в группах.
Контроль: самопроверка.
1. Приготовить тесты для решения иррациональных уравнений и неравенств из газет «Математика в школе», «Квант»
2. Практикум по решению задач Э.Н. Балаян стр.113-114 № 14,17,25,26,27,29,30
3. Компьютерный тест по теме «Иррациональные неравенства».
Занятие 19-21.
Систематизация методов и приемов решения иррациональных уравнений и систем уравнений и неравенств.
Форма занятия: практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий в группах.
Контроль:
1.Составить 5 систем неравенств, для изображения на координатной плоскости.
2. Компьютерный тест по теме «Системы иррациональных уравнений».
Глава 3. Решение уравнений и неравенств с параметром.(13ч)
Занятие 22-28. Уравнения с параметром линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, с модулем.
Алгоритм графического решения уравнений с параметром.
1.Находим область определения уравнения.
2.Выражаем a, как функцию от х.
3.В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
4.Находим точки пересечения прямой, а=с, где с(-∞;+∞) с графиком функции а=(х). Если прямая, а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
5.Записываем ответ.
Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль: самопроверка.
1.Дидактические материалы часть 4 № 246, 248, 250, 251.
2. Написать конспект решения неравенств с параметром.
Занятие 29-33
Неравенства с параметром. Графическое решение неравенств. Решение задач из КИМов.
Форма занятия: лекция, практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль: самопроверка.
1.Составить два проектных неравенства с параметром и показать решение.
2. Составить алгоритм решения уравнений с параметром.
3. Дидактические материалы часть 4 № 253. 254, 256.
Алгоритм решения неравенств с параметром.
1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а, как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
- найдём абсциссы точек пересечения графиков.
- зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -∞ до +∞
7. Записываем ответ.
Занятие 34. Итоговый урок
Форма занятия: практикум.
Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.
Контроль: самопроверка.

Литература для учителя:
1. В.А. Антонов. Математика. Основные методы решения задач.: Учебное пособие для дистанционного обучения.- Челябинск: Издательство ЮУрГУ,1999.
2. Э.Н. Балаян. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вызов.- М: ИКЦ «МарТ»; Ростов – на – Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.
3. Э.Н. Балаян . Практикум по решению задач. Рациональные уравнения, неравенства и системы.- Ростов на Дону: Феникс, 2006.
4. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина: Пособие для учителей.-Изд.2-е.-М.,1968.
5. Л.О. Денищева. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы – М.: Просвещение, 2003.
6. С.Л. Евсюк. «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск «МИСАНТА»,2003.
7. С.И. Колесникова. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. М.: Айрис – пресс, 2004.
8. С.В. Климин. ЕГЭ 2001: Тестовые задания: Математика – М.: Просвещение, 2002.
9. В.В. Кочагин. Единый государственный экзамен: Математика: Репетитор - М.: Просвещение, Эксмо, 2006.
10. В.В. Кочагин. Математика. Тематические тренировочные задания – М.: Эксмо, 2008.
11. В.В. Кочагин. Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ 2008: Математика- М.: АСТ: Астрель, 2008.
12. Л.Д. Лаппо. ЕГЭ. Репетитор. Математика. Эффективная методика- М.: Издательство «Экзамен», 2007.
13. В.В. Локоть. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные, неравенства, системы: Учебное пособие.-М.:АРКТИ, 2005.
14. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. –Ростов – на – Дону: Легион, 2007.
15. Т.И. Осипова. Задачи по математике. Пособие для поступающих в вузы. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ.2001.
16. С.Н. Олехник. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: - М.: Дрофа, 2002.
17. Е.М. Родионов. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в вузы.
18. В.Н. Студенецкая. Решение задач и выполнение заданий с комментариями и ответами для подготовки к единому государственному экзамену. Часть 1. – Волгоград: Учитель, 2003.
20. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 класса средней школы-М.: Просвещение, 1989.
21. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.
22. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ. Математика. ООО Издательство «Экзамен» 2007г.
Литература для ученика:
1 Э.Н. Балаян. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вызов.- М: ИКЦ «МарТ»; Ростов – на – Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.
2. Э.Н. Балаян . Практикум по решению задач. Рациональные уравнения, неравенства и системы.-Ростов на Дону: Феникс, 2006.
3. Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10,11 кл. : Учеб. пособие для школ с углубленным изучением математики. – 9-е изд , стереотип. –М.: Мнемозина, 2002.
4. С.Л.Евсюк. «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск «МИСАНТА»,2003.
5. С.В. Климин. ЕГЭ 2001: Тестовые задания: Математика – М.: Просвещение, 2002.
6. В.В. Кочагин. Единый государственный экзамен: Математика: Репетитор - М.: Просвещение, Эксмо, 2006.
7. В.В. Кочагин. Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ 2008: Математика- М.: АСТ: Астрель, 2008.
8. Л.Д. Лаппо. ЕГЭ. Репетитор. Математика. Эффективная методика- М.: Издательство «Экзамен», 2007.
9. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. –Ростов – на – Дону: Легион, 2007.
10. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10, 11 кл. общеобразовательныхучреждений.-2-е изд.- М.: Просвещение, 2003.
11. Т.И. Осипова. Задачи по математике. Пособие для поступающих в вузы. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ.2001.
12. С.Н. Олехник. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: - М.: Дрофа, 2002.
13. О.Ю. Черкасов. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы.- М.: АСТ-ПРЕСС, 2001.
14. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 класса средней школы-М.: Просвещение, 1989.
15. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.
16. КИМы ЕГЭ, 2001-2007 г.
17. Газеты и журналы математика в школе. Журнал «Квант».