Презентация по математике на тему Построение графиков функций при помощи геометрических преобразований
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «НОВОСИБИРСКИЙ АВИАСТРОИТЕЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ»Построение графиков функций при помощи геометрических преобразований
Цель занятия:Научиться строить графики сложных функций путем геометрических преобразований графиков элементарных функцийЗадачи:Рассмотреть возможные направления преобразований графиков функций.Изучить, к каким изменениям в графиках функций приводит появление числовых слагаемых, коэффициентов, знаков модуля в записи формулы функции.Научиться использовать теоретические сведения об изменениях формы графиков для решения практических задач.Исследовать нетипичные способы геометрических преобразований для построения графиков функций.Выработать критерии выбора способа построения графика функции.
Направления преобразований графиковПреобразования вдоль оси ординатПреобразования вдоль оси абсциссxyxy
y=f(x)Преобразования графика функции f(x)+bпараллельный перенос на |b| единиц:- вверх, если b>0- вниз, если b<0xyy=f(x)+5y=f(x)y=f(x)-5-55Преобразования вдоль оси ординат
ppt_y
ppt_y
преобразования вдоль оси ординатy= f(x)преобразования графика функции f(x)k- растяжение вдоль oY у k раз, если k>1xyy=2f(x)y=f(x)48
ppt_y
преобразования вдоль оси ординатy= f(x)преобразования графика функции f(x)kxyy=f(x)y=1/2 f(x)24- сжатие вдоль oY в k раз, если 0<k<1
ppt_y
преобразования вдоль оси ординатy= f(x)преобразования графика функции f(x)k- симметричное отображение относительно оси абсцисс, если k=-1xyy=f(x)-44y= -f(x)
преобразования вдоль оси ординатy= f(x)преобразования графика функции f(x)| |1) сохранение частей, которые лежат над осью oXxyy=|f(x)|y=f(x)2) симетричное отображение частей, которые лежат ниже оси oX
ppt_y
ppt_y
преобразования вдоль оси абсцисy=f(x )преобразования графика функции f(x)+aпаралельный перенос на |a| единиц:- влево , если a>0- вправо , если a<0xyy=f(x+3)y=f(x)y=f(x-3)
ppt_y
ppt_y
преобразования вдоль оси абсцисy=f( x)преобразования графика функции f(x)k- сжатие вдоль oX в k раз, если k>1xyy=f(2x)y=f(x)
ppt_y
stroke.colorstroke.on
преобразования вдоль оси абсцисy=f( x)преобразования графика функции f(x)k- растяжение вдоль oX в k раз, если 0<k<1xyy=f(1/2 x)y=f(x)
ppt_y
stroke.colorstroke.on
преобразования графика функции f(x)- симметричное отображение относительно оси ординат, если k=-1xyy=f(x)y= f(-x)y=f( x)kпреобразования вдоль оси абсцис
ppt_y
y=f ( x )преобразования графика функции f(x)| |1) отбрасывание части, которая лежит левее oYxyy=f(|x|)y=f(x)2) сохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oYпреобразования вдоль оси абсцис
ppt_y
ppt_y
ppt_y
Примеры построения графиков функций при помощи геометрических преобразований
Пример 1При помощи геометрических преобразований графика функции y=x2 постройте график функции y=-2(x-3)2+71 шагпараллельный перенос на 3 единицы вправо2 шагсимметричное отображение относительно oX3 шаграстяжение в 2 раза вдоль oY4 шагпараллельный перенос на 7 единиц вверх-2+7-3
Пример 1 Построение графикаy=x21 шаг:y=(x-3)22 шаг:y=-(x-3)23 шаг:y=-2(x-3)24 шаг:y=-2(x-3)2+7параллельный перенос вправо на 3 единицысимметричное отображение относительно oXрастяжение в 2 раза вдоль oYпараллельный перенос вверх на 7 единицxyy=-2(x-3)2+7y=-2(x-3)2+7
Пример 2При помощи геометрических преобразований графика функции y=x2 постройте график функцииy=|x2-6x+4|Выделим полний квадрат из квадратного трехчлена:|x2-6x+4|= |(x2-2.x.3+32)-32+4|=|(x-3)2-5|Следовательно необходимо построить график функцииy=|(x-3)2-5|
Пример 2 Построение графикаy=x21 шаг:y=(x-3)22 шаг:y=(x-3)2-53 шаг:y=|(x-3)2-5|параллельный перенос вправо на 3 единицыпараллельный перенос вниз на 5 единиц сохранение частей, которые лежат над осью oX ; симметричное отображение частей, которые лежат ниже оси oX xyy=|(x-3)2-5|y=|(x-3)2-5|
Пример 3При помощи геометрических преобразований графика функции y=√x постройте график функции1 шагпараллельный перенос на 1 единицу влево2 шаграстяжение в 3 раза вдоль oY3 шагпараллельный перенос на 4 единицы вниз4 шаготбрасывание части, которая лежит левее oYсохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oY.
Пример 3 Построение графика1 шаг:2 шаг:3 шаг:4 шаг:параллельный перенос влево на 1 единицурастяжение в 3 раза вдоль oYпараллельный перенос вниз на 4 единицыотбрасывание части, которая лежит левее oYсохранение и симметричное отображение части, которая лежит правее oYxy
stroke.colorstroke.on
Отдельные случаи построения графиков при помощи геометрических преобразований+
Сложение графиковПостройте график функции y=|x+1|+|x-1|1 шаг: построим график функции y=|x+1|2 шаг: построим график функции y=|x-1|3 шаг: y=|x+1|+|x-1|Ординату искомого графика получаем сложением ординат двух построенных графиков в той самой точкеxyy =|x+1|+|x-1|
Деление графиковПостройте схематически график функции y=1/f(x), если известен график функции y=f(x)1 шаг: Предположим, график функции y=f(x) имеет такой вид 2 шаг: Построим вертикальные асимптоты для графика y=1/f(x). Они будут проходить через точки пересечения графика y=f(x) и оси oX.3 шаг: Точки графика y=f(x) с ординатами y=1 и y=-1 будут общими для обоих графиков.y =1/f(x)4 шаг: Для точек графика y=f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/f(x) будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чим больше по модулю ордината точки графика y=f(x), тем в большей мере график y=1/f(x) приближается к оси oX и наоборот. xy
Сравнение методов сложения и деления графиковпостроим методом сложения и методом деления график функциии сравним результатыВыполним преобразования выражениядля сложения графиковдля деления графиковy = y1 + y2y = 1/ y3
Сложение графиковпостроим график функции1 шаг: построим график функции y=x2 шаг: построим график функции y=1/x3 шаг:Ординату искомого графика получим сложением ординат построенных графиков в той самой точкеxyПостроенный график имеет две асимптоты:- вертикальную x=0; - наклонную y=x.
Деление графиковпостроим график функции1 шаг: Предположим, нам известен график функции2 шаг: построим вертикальную асимптоту для графика y=1/y3. Она будет проходить через точку пересечения графика y3=f(x) с осью oX.3 шаг: график y3=f(x) не имеет точек с ординатами y=1 и y=-1 . Следовательно, общие точки графиков функций y3=f(x) и y=1/y3 отсутствуют.4 шаг: Для точек графика y3=f(x) с положительными ординатами соответствующие точки графика y=1/y3 будут иметь также положительные ординаты, а для отрицательных – отрицательные. Чем больше по модулю ордината точки графика y3=f(x), тем больше график y=1/y3 приближается к оси oX и наоборот xyy-1/2-21/22
Сложение графиковxyСравнение результатовДеление графиковxy-1/2-21/221)Графики идентичны, но график, который построен сложением, точно определяет еще и наклонную асимптоту. 2)Суммировать ординаты легче, чем оценивать пропорции их изменения.Вывод: Для построения графика выбираем тот способ, который обеспечивает более информативный результат и является более удобным в применении.
Успехов в изучении математики!
Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы) 7-е изд., стереотипное.—М.: МЦНМО, 2006. - 120 с. Гурский И. П.Функции и построение графиков. Пособие для учителей. Изд. 3-е, испр. и доп. М., «Просвещение», 1968. - 215 с.Дороднов А. М., Острецов И. Н., Петросов В. А., Приходов В. Ю., Сафонов И. Б.. Графики функций. Учеб. пособие для поступающих в вузы. М., «Высш. школа», 1972, - 104 с.Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций: Кн. для учителяМ.: Просвещение, 1984, - 80 с.Список использованных информационных ресурсов