Системы счисления. Перевод чисел в различные системы счисления.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕСРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«КРАСНОДАРСКИЙ КРАЕВОЙ БАЗОВЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ Системы счисления Анисимова А.В 1. Введение2. Двоичная система 3. Восьмеричная система 4. Шестнадцатиричная система5. Другие системы счисления Системы счисления Тема 1. Введение * Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.Числа:123, 45678, 1010011, CXLЦифры:0, 1, 2, … I, V, X, L, …Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Типы систем счисления:непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;позиционные – зависит… * Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)Римская:I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille) * Римская система счисления Правила:(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подрядесли младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)Примеры: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 2389 = M M C C C L X X X I X M M CCC LXXX IX = 1644 * Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 = * Римская система счисления Недостатки:для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)как записать дробные числа?как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов * Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля * Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.Десятичная система: первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в ЕвропуАлфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10 3 7 8 2 1 0 разряды сотни десятки единицы 8 70 300 = 3·102 + 7·101 + 8·100 Другие позиционные системы:двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)двадцатеричная (1 франк = 20 су)шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут) Системы счисления © К.Ю. Поляков, 2007-2009 Тема 2. Двоичная система счисления * Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2 10  2 2  10 19 2 9 18 1 2 4 8 1 2 2 4 0 2 1 2 0 2 0 0 1 19 = 100112 система счисления 100112 4 3 2 1 0 разряды = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20= 16 + 2 + 1 = 19 * Примеры: 131 = 79 = * Примеры: 1010112 = 1101102 = Когда двоичное число четное? делится на 8? ? * Метод подбора 10  2 77 = 64 + 77 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 77 64 Разложение по степеням двойки:77 = 26 + 23 + 22 + 20 + 8 + … + 4 + … + 1 77 = 10011012 6 5 4 3 2 1 0 разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20 13 13 5 1 5 1 8 4 1 * Перевод дробных чисел 10  2 2  10 0,375 =  2 101,0112 2 1 0 -1 -2 -3 разряды = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375 ,750 0 0,75 2 ,50 1 0,5 2 ,0 1 0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой. 2-2 = = 0,25 22 1 0,0112 * Примеры: 0,625 = 3,875 = * Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1021 + 1 + 1 = 112 0-0=0 1-1=01-0=1 102-1=1 перенос заем 1 0 1 1 02+ 1 1 1 0 1 12 1  0 0  0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 12– 1 1 0 1 12 0 2 1   0 102 1 0 0 1 1 102 0 1 0    * Примеры: 1011012+ 111112 101112+1011102 1110112+ 110112 1110112+ 100112 * Примеры: 1011012– 111112 110112–1101012 1101012– 110112 1100112– 101012 * Арифметические операции умножение деление 1 0 1 0 12 1 0 12 1 0 1 0 12+ 1 0 1 0 12 1 1 0 1 0 0 12 1 0 1 0 12– 1 1 12 1 1 12 1 1 2 1 1 12– 1 1 12 0 * Плюсы и минусы двоичной системы нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.); надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;двоичные числа имеют много разрядов;запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать. * Двоично-десятичная система BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде) 9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001BCD 9 0 2 4 , 1 9 1 0101 0011, 0111 1BCD = 0001 0101 0011, 0111 1000 BCD = 153,78 10  BCD BCD  10 10101,1 BCD = 15,810101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5 Запись числа в BCD не совпадает с двоичной! ! Системы счисления Тема 3. Восьмеричная система счисления * Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10  8 8  10 100 8 12 96 4 8 1 8 4 8 0 0 1 100 = 1448 система счисления 1448 2 1 0 разряды = 1·82 + 4·81 + 4·80= 64 + 32 + 4 = 100 * Примеры: 134 = 75 = 1348 = 758 = * Таблица восьмеричных чисел X10 X8 X2 X10 X8 X2 0 0 000 4 4 100 1 1 001 5 5 101 2 2 010 6 6 110 3 3 011 7 7 111 * Перевод в двоичную и обратно 8 10 2 трудоемко2 действия 8 = 23 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! 17258 = 1 7 2 5 001 111 010 1012 { { { { * Примеры: 34678 = 21488 = 73528 = 12318 = * Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 1 3 5 7 Ответ: 10010111011112 = 113578 001 001 011 101 1112 1 * Примеры: 1011010100102 = 111111010112 = 11010110102 = * Арифметические операции сложение 1 5 68 + 6 6 28  1 6 + 2 = 8 = 8 + 05 + 6 + 1 = 12 = 8 + 41 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0  1 в перенос 1 в перенос  08 0 4 1 в перенос * Пример 3 5 38 + 7 3 68 1 3 5 38 + 7 7 78 * Арифметические операции вычитание 4 5 68 – 2 7 78  (6 + 8) – 7 = 7 (5 – 1 + 8) – 7 = 5(4 – 1) – 2 = 1  заем 78 1 5 заем * Примеры 1 5 68 – 6 6 28 1 1 5 68 – 6 6 28 Системы счисления Тема 4. Шестнадцатеричная системы счисления * Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  16 16  10 107 16 6 96 11 16 0 0 6 107 = 6B16 система счисления 1C516 2 1 0 разряды = 1·162 + 12·161 + 5·160= 256 + 192 + 5 = 453 A,10 B,11 C,12 D,13 E,14 F 15 B C * Примеры: 171 = 206 = 1BC16 = 22B16 = * Таблица шестнадцатеричных чисел X10 X16 X2 X10 X16 X2 0 0 0000 8 8 1000 1 1 0001 9 9 1001 2 2 0010 10 A 1010 3 3 0011 11 B 1011 4 4 0100 12 C 1100 5 5 0101 13 D 1101 6 6 0110 14 E 1110 7 7 0111 15 F 1111 * Перевод в двоичную систему 16 10 2 трудоемко2 действия 16 = 24 Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! ! 7F1A16 = 7 F 1 A 0111 { { 1111 0001 10102 { { * Примеры: C73B16 = 2FE116 = * Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 1110 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 1110 11112 1 2 E F Ответ: 10010111011112 = 12EF16 * Примеры: 10101011010101102 = 1111001101111101012 = 1101101101011111102 = * Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 3DEA16 = 11 1101 1110 10102 16 10 8 2 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: Шаг 2. Разбить на триады: Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 011 110 111 101 0102 3DEA16 = 367528 * Примеры: A3516 = 7658 = * Арифметические операции сложение A 5 B16+ C 7 E16  1 6 D 916 10 5 11+ 12 7 14 11+14=25=16+95+7+1=13=D1610+12=22=16+6  1 в перенос 1 в перенос 13 9 6 1 * Пример: С В А16+ A 5 916 * Арифметические операции вычитание С 5 B16– A 7 E16 заем  1 D D16 12 5 11– 10 7 14  (11+16)–14=13=D16(5 – 1)+16 – 7=13=D16(12 – 1) – 10 = 1 заем 13 1 13 * Пример: 1 В А16– A 5 916 Системы счисления Тема 5. Другие системы счисления * Троичная уравновешенная система Задача Баше:Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов. * Троичная уравновешенная система + 1гиря справа 0гиря снята– 1гиря слева Веса гирь:1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кгПример:27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг 1 1 1 13ур =Реализация:ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)50 промышленных образцов 40 Троичная система! ! * Конец фильма