Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 2

Вариант № 2
Сторона CD прямоугольника ABСD касается некоторой окружности в точке М. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.
2159017018000
а). ∠CBM =∠BQA = α, (как накрест лежащие при ВС ǁ AQ),
∠MQP = 12⌒MP – вписанный;
∠MOP = ⌒MP – центральный; => ∠MOP = 2α. В ∆ MOP:
∠OMP =∠OPM = 90ᵒ – α .
Так как OM⊥CD , то ∠DMP = 90ᵒ –∠OMP = 90ᵒ – (90ᵒ – α ) = α = ∠CBM.
Доказано.
б) 1. CMOE – квадрат, т. к. ∠C = ∠E = ∠M = 90ᵒ ; CM =EO = R и CE =MO =R.
По условию AB =CD = 25, CM = R = 17, => MD = 8.
2. Проведем радиус OQ. Так как DMOH – прямоугольник, то OH = MD = 8.
=> PH2 = OP2 – OH2 = 172 – 82 = 225, PH = 15. DH = MO = R =17.
=> DP = DH – PH = 17 – 15 = 2.
3. ∆ BCM и ∆ MDP подобны, (∠ CBM = ∠DMP = α, ∠C = ∠ D = 90ᵒ), => CMDP = BCMD; => BC = 17х 82 = 68. => AD = 68.
Ответ: AD = 68.