Конспект урока по теме: Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы.
Тема занятия: «Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы».
Цели занятия:
отработать навык решения упражнений на отыскание предела функции в точке и на бесконечности с использованием изученных формул. Познакомить с формулами, выражающими первый и второй замечательные пределы, показать алгоритм использования этих формул при решении упражнений.
развивать память, внимание, продолжить развитие математической речи учащихся; способствовать развитию творческой деятельности учащихся и интереса к предмету математика.
воспитывать аккуратность, формировать умение внимательно выслушивать мнение других, воспитание уверенности в себе, культуры общения, аккуратности при оформлении чертежей и записей в тетради.
Тип занятия: комбинированное.
Ход занятия
I.Организационный этап.II.Актуализация знаний.Выписать на доске формулы:
(1)
(2)
, если (3)
(4);
Если , , то
;
;
;
.
;
III.Решение упражнений.
Функции под знаком предела, в данном случае .
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Примеры с бесконечностью:
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает:
, , , , , , , , ,
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Пример 1:
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
В пределе желательно помечать, что и куда стремится.
Пример 2
Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:Максимальная степень в числителе: 3Максимальная степень в знаменателе: 4Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Пример 4
Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:Сначала находим дискриминант:И квадратный корень из него: .
Таким образом:
Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: Знаменатель:,
! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки)., то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида
Пример 6
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Вспоминаем формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.
Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на :
То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Теперь самое время применить вверху формулу :
Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:
Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.
Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?Примерно так:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7
Найти предел
Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
IV.Изучение нового материала.Первый и второй замечательные пределы.
В курсе математического анализа, доказывается, что:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры:, , ,
Здесь , , , , первый замечательный предел применим.
Пример 1
Найти предел
Пример 2
Найти предел
Пример 3
Найти предел
Пример 4
Найти предел
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 6
Найти предел
Пример 7
Найти предел
второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
Пример 8
Найти предел
IV.Итог занятия.Домашнее задание: конспект, § 26
№ 26.16 (а, б), 26.17 (а, б), 26.18 (а, б), 26.19 (а).