Степенные функции, их свойства и графики. Производная и первообразная степенной функции.

Федеральное Государственное Казенное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3»
Алгебра и начала анализа 11 класс.
Открытый урок по теме:
«Степенные функции, их свойства и графики. Производная и первообразная степенной функции».
Учитель математики
Павлова И.А.

Приозерск 2016 г.
Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики. Производная и первообразная степенной функции».
Цели урока:
Образовательная:
Создать условия для формирования знаний о свойствах и особенностях графиков степенных функций y = xr при различных значениях r.
получить формулы для вычисления производной и первообразной.
Развивающие:
Способствовать развитию информационных умений учащихся: умения работать с текстом слайда.
Способствовать развитию творческой и мыслительной деятельности учащихся.
Продолжить формирование умений чётко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы.
Развивать навыки самостоятельного отношения поиска решения.
Прививать любовь к математике, расширять кругозор учащихся;
Воспитательные:
Продолжить развитие культуры математической речи.
Способствовать формированию коммуникативной компетентности.
Повышение мотивации к обучению.
Формирование познавательного интереса.
Создание заинтересованности каждого ученика в работе.
Тип урока: урок изучения нового материала;

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.
Средства обучения:
компьютер, медиапроектор;
классная доска;
слайдовая презентация (PowerPoint);
учебник «Алгебра и начала анализа» под ред. Колмогорова. Рабочая тетрадь, чертёжные инструменты;
Набор графиков и формул функций для игры «Графическое лото» (документ Word), (приложение 2).
Таблица графиков.
В результате изучения темы учащиеся должны
Знать: понятие степенной функции, свойства степенной функции в зависимости от показателя. Знать формулы производной и первообразной этой функции.

Уметь: называть свойства степенной функции в зависимости от показателя, строить графики (эскизы графиков) степенных функций с рациональным показателем, выполнять простейшие преобразования графиков, уметь четко и ясно излагать свои мысли, анализировать, делать выводы. Находить производную и первообразную степенной функции.
Ход урока:
Организационный момент.
Целеполагание и мотивация.
III. Изучение нового материала.
Актуализация знаний. (Теоретический материал представлен учащимися в виде презентаций).
1.Учащиеся повторяют свойства известных степенных функций y = xr , где r= 0, 1, 2, 3. Вспоминают их графики.
2. Делают вывод: если показатель r = 2,4,6,8,..график похож на параболу, а если r =3,5,7,9,.. – на кубическую параболу.
3. Делают вывод о графике степенной функции с целым отрицательным показателем.
IY. Первичное усвоение, осознание и осмысление нового материала.
1. Учащиеся знакомятся со степенными функциями с дробным показателем и принимают участие в обсуждении свойств функций. (Работа с таблицей). y= xr , где r= mn – дробное число:
1)mn > 1 2) 0< mn < 1 3) mn<02. Знакомятся с формулами производной и первообразной степенной функции.
3. Учащиеся знакомятся с формулами приближенных вычислений степенной функции.
Y. Закрепление изученного материала. ( работа в группах).
 
(По одному представителю от группы работают на доске. Остальные слушают и записывают в тетрадь). YI. Проверка уровня усвоения знаний и умений.
Учитель предлагает задания для самостоятельной работы: «Построить график степенной функции, найти её производную и первообразную».
Вариант 1. 1) Найдите производную функции: у = х7 - х-7.
2) Найдите первообразную функции: у = х7.
3) Построить график функции: у = х7.

Вариант 2. 1) Найдите производную функции: у = х5 - х-5.
2) Найдите первообразную функции: у = х5.
3) Построить график функции: у = х5.
YII. Постановка домашнего задания.
1.Прочитать п.9, конспект. № 560(а,б), 565(а,б).
Дополнительно: № 564 (б,г).
YIII. Рефлексивно- оценочный этап урока.
Главные в группах оценивают уровень усвоения материала членами группы. Подводят итоги. Все учащиеся отвечают на вопросы учителя:
Какую задачу ставили на уроке?
Удалось ли решить поставленную задачу?
Каким способом?
Какие получили результаты?
Что нужно ещё сделать?
Где можно применить полученные знания?
Что на уроке у вас хорошо получилось?...Или:
1.Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
сегодня я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…
я приобрел…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
меня удивило…
урок дал мне для жизни…
мне захотелось…
Ход урока
Этапы урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Методический комментарий
Организационный момент Объявляет о начале урока, предлагает учащимся занять свои места. Раздает листки достижений, таблицы с графиками функций.
Приветствуют учителя, занимают свои места Важно задать высокий темп урока, чётко формулируя требования учащимся
Целеполагание и мотивация Проводит вводную беседу, в ходе которой подводит учащихся к названию темы урока.
Сообщает тему и цель урока.
Слушают учителя, отвечают на его вопросы, формулиру -ют тему и цели урока.
Слова учителя сопровождаются слайдовой презентацией, которая позволяет представить, о чём говорит учитель.
Актуализация знаний Проводит беседу, помогает вспомнить и систематизировать знания о ранее изученных функциях и их графиках
Повторяют свойства известных степенных функций y = xr , где r= 0, 1, 2, 3. Вспоминают их графики.
Слова учителя и учащихся сопровождаются слайдовой презентацией
Первичное усвоение, осознание и осмысление нового материала 1.Предлагает учащимся сделать вывод о графике степенной функции с чётным и нечётным натуральным показателями.2.Организует обсуждение свойств функции с целым отрицательным показателем.
3.Организует знакомство с функциями
y= xr , где r= mn – дробное число:
1)mn > 1 2) 0< mn < 1 3) mn<01.Делают вывод: если показатель r = 2,4,6,8,..график похож на параболу, а если r =3,5,7,9,.. – на кубическую параболу
2. Делают вывод о графике степенной функции с целым отрицательным показателем
Учащиеся демонстрируют свои презентации.
3.Знакомятся со степенными функциями с дробным показателем, принимают участие в обсуждении свойств функций.
4.Знакомятся с фор-
мулами производной и первообразной степенной функции.
Демонстрируются слайды презентации.
Важно, чтобы учащиеся, зная свойства степени, самостоятельно пришли к выводу о поведении графика степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Закрепление изученного материала Организует работу в группах, проверку первичного уровня усвоения материала урока.
Предлагает игру «Графическое лото»: сопоставить графики и формулы. Работают в группах, затем к доске выходят представители от каждой группы и показывают решение своего задания. Остальные учащиеся слушают решение и записывают в тетради. ученик, который должен привести в соответствие эскизы графиков и табличку с формулой. Осуществляют самоконтроль. Все эскизы графиков и наборы формул выданы на парты и представлены на слайде презентации.Ответ для проверки на
следующем слайде.
Проверка уровня усвоения знаний и умений Предлагает задания для самостоятельной работы: «Построить график степенной функции, найти её производную и первообразную».
Выполняют задание, осуществляют проверку в группах. Правильный ответ можно увидеть на следующем слайде
Постановка домашнего задания Знакомит учащихся с объёмом домашнего задания, комментируя его. Записывают домашнее задание в дневники: Обязательная часть д/з:
1.Прочитать п.9, конспект.
2. № 560(а,б), 565(а,б).
Дополнительно:
№ 564 (б,г). Д/З даёт возможность каждому учащемуся проверить степень усвоения материала, отработать приёмы, желающим – реализовать свои возможности через выполнение дополнительного задания
Рефлексивно- оценочный Подводит рефлексию урока. Совместно с главными в группах
оценивает деятельность класса и отдельных учащихся,
выделяет удавшиеся моменты, выясняет, что вызвало наибольшую трудность. Главные в группах оценивают уровень усвоения материала членами группы. Подводят итоги. Все учащиеся отвечают на вопросы учителя. Приложение 2
Графическое лото.ху
0
1
1
3
ху
0
-1
1
1
2
ху
0
1
-1
1


ху
0
1
1
5
ху
0
1
1
6
ху
0
1
1
4

ху
0
1
1
ху
0
1
1

7
8
9
Набор формул.
Вариант 1.
1) у = х-0,7 4) у = х7 7) у = х8
2) у = х-7 5) у = х0,6 8) у = 1
3) у = х 6) у = х3,14 9) у = х-6
Набор формул.
Вариант 2.
1) у = х-8 4) у = х9 7) у = х-5
2) у = х6 5) у = х2,04 8) у = 1
3) у = х 6) у = х0,3 9) у = х-0,2

ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: №1 796 514 238
№2 215 694 738
Степенная функция у = хr опорный конспект для учащихся
Приложение 3.
Показатель r = 2n четное натуральное число

ху
0
1
-1
1
Примеры функций________________
--------------------------------------------------
Свойства --------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
Показатель r = 2n-1 нечетное натуральное число

ху
0
1
1
2
Примеры функций________________

-------------------------------------------------
Свойства -------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-------------------------------------------------
-
Показатель r = – (2n-1), где n – натуральное число
ху
0
1
1
3


Примеры функций_________________
--------------------------------------------------
Свойства ------------------------------------
------------------------------------------------
------------------------------------------------
------------------------------------------------
------------------------------------------------
------------------------------------------------
------------------------------------------------
Показатель r = – 2n, где n – натуральное число
у
0
-1
1
1
4

Примеры функций _______________
-------------------------------------------------
Свойства --------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
Показатель r – дробное положительное число
ху
0
1
1
5
0 < r < 1
Примеры функций _______________
-------------------------------------------------
Свойства --------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------

r > 1
ху
0
1
1
6
Примеры функций _______________
-------------------------------------------------
Свойства --------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
Показатель r – отрицательное дробное число

r < 0

ху
0
1
1
7
Примеры функций _______________
-------------------------------------------------
Свойства --------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------
---------------------------------------------------