Практическая работа Комплексные числа и действия над ними

Практическая работа
Тема: Комплексные числа и действия над ними.
Цель: закрепить навыки действий над комплексными числами в разных формах.
Теоретическая часть: Комплексным числом z называется выражение z=a+bi, где a и b- действительные числа, i - мнимая единица, которая определяется соотношением: i2=-1;i=-1.
Число a называется действительной частью числа z, а b - мнимой частью.
Числа z=a+bi и z=a-bi называются комплексно-сопряженными. Два комплексных числа z1=a+bi и z2=c+di, называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части : a=c; b=d.z=a+bi- алгебраическая форма комплексного числа
z=r(cosφ+isinφ)-тригонометрическая форма
z=reiφ- показательная форма
Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
z1=a+bi z2=c+diСложение и вычитание комплексных чисел:
z1+z2=a+bi±с+di=a±c+b±diПроизведение комплексных чисел:
z1∙z2=a+bi∙c+di=ac-bd+ad+bciДеление комплексных чисел:
z1z2=(a+bi)(c+di)=a+bi∙(c-di)c+di∙(c-di)=a+bi∙(c-di)c2+d2Тригонометрическая форма комплексного числа
Z = r(cosφ+isinφ);Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r = a2+b2Величину угла φ можно найти по формуле cosφ=аr;sinφ=brПоказательная форма комплексного числа Z = reiφДействия над комплексными числами в тригонометрической форме.
z1=r1∙(cosφ1+isinφ1) z2=r2∙(cosφ2+isinφ2)Произведение комплексных чисел:
z1∙z2=r1∙r2(cosφ1+φ2+isin(φ1+φ2))Деление комплексных чисел:
z1z2=r1r2∙(cosφ1-φ2+isin(φ1-φ2))Возведение в степень:
zn=rn(cosφn+isinφn)Извлечение корня n-ой степени:nz=nrcosφ+2πkn+isinφ+2πknПримеры и решения
№1 Решить квадратное уравнение:
Х2 – 6х + 13 = 0
Решение: а=1, в=-6, с=13. Найдем D=b2-4ac; D= (-6)2- 4∙1∙13=35-52=-16Корни уравнения находим по формулам х1,2=-b±b2-4ac2aх1,2=6±- 162=6±4i2=3±2i; таким образомх1=3+2i x2=3 – 2iОтвет: х1=3+2i; x2=3 – 2i.
№2 Найти значения х и у из равенства (2x+3y) + (x-y)i = 7 + 6iРешение: из условия равенства комплексных чисел следует
2х+3у=7,х-у=6Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, имеем
5х=25,т.е. х=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6,откуда
у = -1. Итак, получаем ответ: х = 5,у = -1.
№3 Даны комплексные числа z1 = 5 + 3i , z2 = 7 – 4iНайти
а) z1+z2 б) z1-z2 в) z1∙z2
Решение:
а) z1+z2=5+3i+7-4i=5+3i+7-4i=12-iб) z1-z2=5+3i-7-4i=5+3i-7+4i=-2+7iв) z1∙z2=5+3i∙7-4i=35-20i+21i-12i2=35+i-12∙-1=35+i+12=47+iг).
№4 Выполнить деление 3+2i7-5i:
Решение:
3+2i7-5i=3+2i∙(7+5i)7-5i∙(7+5i)=21+15i+14i+10i249-25i2=11+29i74=1174+2974№5 Записать число Z = 3 – 3i3 в тригонометрической и показательной формах.
Решение: 1.Так как а=3, в=-33,то r=a2+b2 = 32+(-33)2=9+9∙3=62. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти
3. Составим отношения cosφ=ar=36=12,sinφ=br=-336=-32.Отсюда следует, что φ=360°-60°=300° или φ=2π-π3=5π34. Итак, z = 6(cos5π3+sin5π3) - тригонометрическая форма числа
Z = 6e5π3i - показательная форма числа.
№6 Даны комплексные числа z1=3(cos330°+isin330°) z2=2(cos60°+isin60°)Найти:
а) z1∙z2 б) z1z2 в)z24 г)3z1Решение:
а) z1∙z2=2∙3(cos330°+60°+isin(330°+60°))=6(cos390°+isin390°)=6(cos30°+isin30°)=6(32+i12)=33+3iб) z1Z2=23(cos330°-60°+isin(330°-60°))=23(cos270°+isin270°)=1,5∙0+i∙-1=-1,5iв) z24=2(cos60°+isin60°)4=24cos60°∙4+isin(60°∙4)=16(cos240°+isin240°)Используем формулы приведения
cos240°=cos180°+60°=-cos60°=-12sin240°=sin180°+60°=-sin60°=-32z24=16cos240°+isin240°)=16(-12+i-32=-8-8∙3iг)3z1=33cos330°+360°k3+isin330°+360°k3,где k принимает значение 0,1,2.Если k=0,то z1(1)=33(cos110°+isin110°)
Если k=1,то z1(2)=33(cos230°+isin230°)Если k=2, то z1(3)=33(cos350°+isin350)Задание для самостоятельного решения:
1.Решить уравнение:
x2+2x+5=0 x2-6x+18=02.Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел:
5x-2y+x+yi=4+5i 2xi+3yi+17=3x+2y+18i3.Даны комплексные числа:
z1=5+3i и z2=2-7i z1=2+6i и z2=3+5iНайти: а)z1+z2 б)z1-z2 в)z1∙z2 г)z1z2 4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:
z=1-3i z=-3+i5.Найти: z1∙z2; z1z2; z14; 3z2, еслиz1=1-i;z2=-2-2i z1=23-2i;z2=3+iДействия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.
Критерии оценки
«5»-выполнены правильно все задания
«4»-выполнены правильно любые четыре задания
«3»-выполнены правильно любые три задания
«2»-выполнено правильно только два задания
Рекомендуемая литература
1. В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов
2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.
3. Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».