Первообразная и неопределенный интеграл 11 класс

СабаKтыS таKырыбы/ Тема урока: Первообразная и неопределенный интеграл
МаKсатары/Цели:
1.ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для
заданной функции(применяя определение первообразной); ввести определение
неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
2. активизировать мыслительную деятельность; способствовать усвоению способов
исследования; обеспечить более прочное усвоение знаний.
3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно
анализировать, самооценивать, взаимооценивать результаты, делать выводы.
СабаKтыS барысы / Ход урока:
1. `йымдастыру-маKсатты кезеSі / Организационно- целевой этап
СабаKтыS маKсатын Kою / Постановка целей урока.
СабаKтыS мотивациясы / Мотивация урока. Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске. Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную скорость в любой момент времени. V(t) = S13 EMBED Equation.3 1415(t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего через проводник выражается формулой
q (t) = 3t13 EMBED Equation.3 1415 - 2 t, выведите формулу для вычисления силы тока в любой момент времени t.
I (t) = 6t - 2. (Актуализация опыта решения задач на использование дифференцирования ).
II. Jайталанатын материалдар / Повторяемый материал:
Повторить вычисление производных, формулы для вычисления производных
III. ЖаSа материалды мазмaндау / Изложение нового материала.
3.Зная скорость движущегося тела в каждый момент времени, найти закон его движения. 4.Зная, что сила тока проходящего через проводник в любой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для определения количества электричества, проходящего через проводник.
Учитель : Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя имеющиеся у нас средства ?
( Создание проблемной ситуации ).
Предположения учащихся :
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
- Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x ) ее производную. F13 EMBED Equation.3 1415 (x) = f (x).
Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?
Вывод учащихся :
- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е. f (x) = F13 EMBED Equation.3 1415(x) .
Учитель : Такая операция называется интегрированием, точнее неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. ( кратко символически записывается на доске ).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции задан ной на том же промежутке, если для всех x 13 EMBED Equation.3 1415 X выполняется равенство
F13 EMBED Equation.3 1415(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. ( x13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415 = 2x, из этого равенства следует, что функция x13 EMBED Equation.3 1415 является первообразной на всей числовой оси для функции 2x. Используя определение первообразной , выполните упражнение
Проверьте, что функция F является первообраз- ной для функции f, если
1) F (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 2 cos 2x , f (x) = x13 EMBED Equation.3 1415 - 4 sin 2x .
2) F (x) = tg13 EMBED Equation.3 1415х - cos 5x , f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 + 5 sin 5x.
3) F (x) = x13 EMBED Equation.3 1415 sin x + 13 EMBED Equation.3 1415 , f (x) = 4x13 EMBED Equation.3 1415 sinx + x13 EMBED Equation.3 1415 cosx + 13 EMBED Equation.3 1415.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комментируя свои действия.
Учитель : Является ли функция х13 EMBED Equation.3 1415 единственной первообразной для функции 2х ?
Учащиеся приводят примеры х13 EMBED Equation.3 1415 + 3 ; х13 EMBED Equation.3 1415 - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся: любая функция имеет бесконечно много первообразных. Всякая функция вида х13 EMBED Equation.3 1415 + С, где С – некоторое число, является первообразной функции х13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообразную F, то для любого числа С функция
F + C также является первообразной для f . Иных первообразных функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

 а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то F13 EMBED Equation.3 1415 (x) = f (x) для всех х 13 EMBED Equation.3 1415 Х Тогда для х13 EMBED Equation.3 1415 Х для любого С имеем : ( F (x) + C )13 EMBED Equation.3 1415 = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже первообразная f на Х .

б) Докажем , что иных первообразных на Х функция f не имеет. Предположим , что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф13 EMBED Equation.3 1415(x) = f (x) и потому для всех х 13 EMBED Equation.3 1415Х имеем: Ф13 EMBED Equation.3 1415 (x) - F13 EMBED Equation.3 1415 (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель : в чем заключается задача отыскания всех первообразных для данной функции ?
Вывод формулируют учащиеся Задача отыскания всех первообразных, решается отысканием какой-нибудь одной: если такая первообразная найдена, то любая другая получается из нее прибавлением постоянной.

Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции. Обозначение. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415 - читается интеграл.
13 EMBED Equation.3 1415 = F (x) + C, где F – одна из первообразных для f , С пробегает множество действительных чисел.
f - подынтегральная функция; f (x)dx - подынтегральное выражение; х - переменная интегрирования; С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
 (13 EMBED Equation.3 1415 ) = f (x) dx.
1.13 EMBED Equation.3 1415 = F (x) + C.
Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.
2. 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 .
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3. 13 EMBED Equation.3 1415 = A13 EMBED Equation.3 1415 .
T.k. ( x13 EMBED Equation.3 1415 )13 EMBED Equation.3 1415 = (13 EMBED Equation.3 1415 ) x13 EMBED Equation.3 1415, то при 13 EMBED Equation.3 1415 - 1,
4. 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + С.
Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.
Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3 )
Вычислите интегралы.
1.13 EMBED Equation.3 1415 , Какие свойства неопределенного интеграла следует применить, решая следующий пример ?
2. 13 EMBED Equation.3 1415 Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски комментирует выполняемые действия.

Учитель :Теперь вы можете решить физическую задачу определения пройденного пути по известной скорости ? по известному ускорению ? Решите задачи № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.Учитель выборочно проверяет запись решения.
Решите задачу. Тело свободно падает в пустоте. Пусть s (t) – координата тела в момент t .
Т.о. g = s13 EMBED Equation.3 1415(t) и g - постоянная. Требуется найти функцию s (t) – закон движения.
Задание A:
Укажите первообразную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1.

6. Итоги урока.
7. Домашнее задание.
Прочитать и разобрать §1. Решить следующие задачи №1,2,3,4 (четные)












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native