Конспект урока по алгебре 9 класс на тему Арифметическая прогрессия. Формула суммы n первых членов

Конспект урока алгебры в 9 классе.
Тема. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СУММА ПЕРВЫХ n ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
Цель: закрепить знания учащихся о смысле определения и сопутствующих понятий арифметической прогрессии, основные понятия и формулу n-го члена; дополнить знания учащихся знанием формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать практические умения применять выученные формулы для решения задач, предусматривающие вычисление сумм первых п членов арифметической прогрессии;
Способствовать развитию внимания, творческих способностей учащихся; формировать их познавательный интерес; расширять кругозор; воспитывать старательность, ответственность за результат своего труда; культуру математической речи; стараться создать ситуацию успеха для каждого ученика.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование: компьютерная презентация, раздаточный материал для проверки знаний
учащихся.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Мотивация учебной деятельности, сообщение темы и цели урока.
Учитель. Мы изучаем одну из наиболее интересных тем математики – прогрессии
(progressio – движение вперёд). Её внутренняя гармония, строгая утончённая красота делают теорию прогрессий отображением фундаментальных свойств объективного мира, который существует независимо от нас, нашего сознания. На сегодняшнем уроке мы углубим знания по этой теме, повторим ранее изученное, дополним свои знания новым материалом, увидим как теория находит своё применение на практике.
Девизом нашего урока будут слова выдающегося английского математика и физика Исаака Ньютона: «Примеры в обучении полезнее правил».
Актуализация опорных знаний
ФРОНТАЛЬНЫЙ ОПРОС
Что называют числовой последовательностью?
Какие способы задания числовой последовательности вы знаете?
Назовите первые три члена последовательности. (Приложение 2 – компьютерная презентация, на которой приведены разные способы задания числовой последовательности.)
Что называют арифметической прогрессией?
Запишите формулу для нахождения п-го члена арифметической прогрессии.
Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

ИГРА «САМЫЙ УМНЫЙ»
Два ученика отвечают на вопросы. Учитывается правильность и скорость выполнения заданий.
Дана последовательность чисел:17; 14; 11; 8…; -20; -18; -16; -14.
Является ли данная последовательность чисел арифметической прогрессией?
Возрастающая или убывающая задана прогрессия?
Найдите разность арифметической прогрессии.
Найдите 10-й член этой прогрессии.
Принадлежит ли этой прогрессии число 2?
Блиц-контроль знаний
Каждому ученику предлагаются задания и таблица-код, по которой в случае правильного ответа ученик получает слово-код. За каждое правильно выполненое задание ученик получает 1,5 балла. (Приложение 1)
УМНИК по ночам не спит,
Математику зубрит.
Он хочет всем нам дать СОВЕТ
ТРУДУ способствует УСПЕХ.
Мотивация.
Учитель. Давайте подумаем и решим задачу.
Одним из мобильных операторов была объявлена акция «Больше разговариваешь меньше платишь с такими условиями: плата за соединение отсутствует; за первую минуту разговора абонент платит 30 коп, а за каждую следующую минуту разговора – на 3 коп меньше, чем за предыдущую; плата за одиннадцатую и все следующие минуты разговора не насчитывается; условия действительны для звонков абонентам всех мобильных операторов страны. Сколько по условиям акции будет стоить абоненту этого мобильного оператора разговор продолжительностью 9 минут ( в рублях)?
Учащиеся в течение 1 минуты решают и предлагают свои варианты решения.
( Правильный ответ 1,62 руб.) Но не нужно тратить время и решать задачу на этом этапе до конца. Это переход к изучаемой формуле.
Изучение нового материала.
Ученица. Рассмотрим задачу. Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, то есть вычислите: 1+2+3+4+5+6+…+100.
Именно такую задачу однажды получили ученики младших классов одного из немецких городов. Учитель был уверен, что дети до конца урока не справятся с заданием.
Каким же было его удивление, когда через минуту маленький мальчик поднял руку и назвал правильный ответ. Это был выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.
Давайте и мы попробуем повторить открытие великого Гаусса.
Задача очень не проста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи –
Найдёшь к решению ключи.
1+2+3+4+5+6+…+95+96+97+98+99+100.
(1+100)∙50=5050.
Давным - давно сказал Мудрец,
Что прежде всего надо
Связать начало и конец
У числового ряда.
Формулу суммы n членов арифметической прогрессии несложно вывести простым и наглядным способом с помощью листа в клетку.
Фигура ABDC изображает прогрессию: 2, 5, 8, 11, 14.
В D F
А С Е
На рисунке синим цветом обозначены члены данной арифметической прогрессии.
Дополним фигуру ABDC до прямоугольника ABFE.
Площадь прямоугольника равна S= АВ∙АЕ.
Получим две равные фигуры синего и красного цветов. Итак, удвоенная сумма арифметической прогрессии равна площади прямоугольника, Площадь прямоугольника равна S= АВ∙АЕ,
то есть
2S=(AC+CE)∙AB, поэтому:
S=AC+CE2∙AB, S=a1+a52∙5, S=a1+an2∙n.
УСВОЕНИЕ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.
Вернёмся к задаче о мобильном операторе.
Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где а1=30, d=-3.
Тогда а9=30-3∙8=30-24=6 (коп) за 9 минуту,
S=(30+6)÷2∙9=162 (коп)
Решение упражнений по учебнику: №603(а), №605(а), №607(а).
№603(а).
Дано: а1=3, а60=57
Найти:S60-?Решение.
S60=а1+а602∙60=3+572∙60=30∙60=1800.
Ответ:1800.
№605(а).
Дано: в1=-17, d=6.
Найти: S9-?Решение.
S9=в1+в92∙9=-17+312∙9=142∙9=63.
В9=в1+8∙d=-17+8∙6=-17+48=31.
Ответ:63.
№607(а).
Дано: аn=3n+2
Найти: S20-?Решение.
а1=3∙1+2=5,
а20=3∙20+2=62,
S20=5+622∙20=670.
Ответ: 670.
А теперь решим текстовую задачу.
Рабочие получили заказ выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 руб, а за каждый следующий – на 20 руб больше, чем за предыдущий. Сколько денег ( в руб) заплатят рабочим за выкопанный колодец глубиной12м?
Решение.
В задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, где
а1=50, d=20, n=12, а12=а1+11d=50+11∙20=270(руб) за 12-ый метр колодца,
S=50+2702∙12=320∙6=1920.
Ответ: 1920 руб.
ПРИМЕНЕНИЕ ЗНАНИЙ В НЕСТАНДАРТНОЙ СИТУАЦИИ.
Пользуясь выученной формулой, решите уравнение:
(х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500.
Если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что:
х2+2х+3-(х2+х+1)=х+2,
х2+3х+5-(х2+2х+3)=х+2…,
То есть члены уравнения образуют арифметическую прогрессию, количество членов которой равно 20.
S=a1+a202∙20, (х2+х+1+х2+20х+39)2∙20(2х2+21х+40)∙10=4500,
(2х2+21х+40)-450=0,
2х2+21х-410=0,
х1=-20,5, х2=10
Ответ: -20,5; 10.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.
Прочитать п.26. Выучить вывод формулы и саму формулу.
Решить на «3» № 604, № 605(б),
На «4» № 606(а,г),
На «5» №621(а)
ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГА УРОКА.
Кто сказал, что математика скучна,
Что она сложна, суха, тосклива…
В этом вы не правы, господа,
Знайте: математика – красива!!!
Рефлексия.
МЕТОД «МИКРОФОН»
На уроке я
Узнал….
Понял….
Научился….
Наибольший мой успех – это…
Наибольшие трудности я ощутил…
Я не умел, а теперь умею…
Я изменил своё отношение к…
На следующем уроке я хочу…
Выставление оценок и их комментирование.

Блиц-контроль знаний Приложение 1
Карточка1Найдите 5-ый член последовательности, заданной формулой:
уn=5n-16
Найдите разность арифметической прогрессии: 2; 7; 12…
Найдите 7-ой член арифметической прогрессии, у которой а1=9, d=3
Найдите разность арифметической прогрессии, если в1=10, в5=22.
Найдите номер члена арифметической прогрессии равного109, если её первый член равен -5, а разность равна 6.
Карточка21.Найдите 5-ый член последовательности, заданной формулой:
yn=22-3n
2.Найдите разность арифметической прогрессии: 0,7; 1; 1,3…
3.Найдите 7-ой член арифметической прогрессии, у которой a1 =37 ,d=-2
4.Найдите разность арифметической прогрессии, если в1=21, в15=-21.
5.Найдите номер члена арифметической прогрессии равного 287, если её первый член равен -10, а разность равна 3.
Карточка3
1.Найдите 5-ый член последовательности, заданной формулой:
yn=n3-n22.Найдите разность арифметической прогрессии: 6; 5,5; 5…
3.Найдите 7-ой член арифметической прогрессии, у которой а1= -4,5, d=2,25.
4.Найдите разность арифметической прогрессии, если в1=-0,3, в8=1,1.
5.Найдите номер члена арифметической прогрессии равного -1, если её первый член равен 15, а разность равна -2.
Карточка41.Найдите 5-ый член последовательности, заданной формулой:
yn=36n-12.Найдите разность арифметической прогрессии: -9; -7;-5…
3.Найдите 7-ой член арифметической прогрессии, у которой а1 =-35, d=15
4.Найдите разность арифметической прогрессии, если в1=-22, в10=23
5.Найдите номер члена арифметической прогрессии равного 12, если её первый член равен -30, а разность равна 3.
В Д Е И К М Н О ПРС Т У Х
25 0,2 -3 3 20 5 27 0,3 55 -0,5 7 100 9 15
Решение заданий:
КАРТОЧКА 1.
5∙5-16=9 У=9
12-7=5 М=5
9+6∙3=27 Н=27
10+4х=22
Х=3 И=3
-5+(х-1)∙6=109
(х-1)∙6=109+5
(х-1)∙6=114
(х-1)=114÷6
Х-1=19
Х=20 К=20
Карточка 2.
22-3∙5=7 С=7
1-0,7=0,3 О=0,3
37+6∙(-2)=25 В=25
21+14∙х=-21
14∙х=-42
Х=-3 Е=-3
-10+3∙(х-1)=287
3∙(х-1)=287+10
3∙(х-1)=297
Х-1=99
Х=100 Т=10
КАРТОЧКА 3.
125-25=100 Т=100
5,5-6=-0,5 Р=-0,5
-4,5+6∙2,25=9 У=9
-0,3+7∙х=1,1
7х=1,4
Х=0,2 Д=0,2
15+(-2)∙(х-1)=-1
-2∙(х-1)=-16
Х-1=8
Х=9 У=9
КАРТОЧКА 4.
36÷(5-1)=9 У=9
-2-(-9)=7 С=7
-35+6∙15=55 П=55
-22+9∙х=-49 --------
9∙х=-27
Х=-3 Е=-3
-30+3∙(х-1)=12 -------- Х-1=14 , Х=15 Х=153∙(х-1)=42 ----------