Тема: Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем

Решетняк Марина Николаевна, СОШ № 84
Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"
Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = ах, а>0, а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1
Задачи урока:
повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;
повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;
находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;
решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.
работа с графиками функций, содержащими модуль;
рассмотреть графики сложной функции и их область значений;
Ход урока:
1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы
Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”
Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.
Слайд 2-3 Цели и задачи урока.
Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = ах, а>о,а[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.
Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.
По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.
Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.
Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.
Приведите свои примеры
Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).
Сообщение о дозе принятия лекарств:
- Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.
Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.
2. Актуализация знаний учащихся.
Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)
Какая функция называется показательной? Приведите пример.
Какие основные свойства показательной функции вы знаете?
Область значения (ограниченность)
область определения
монотонность( условие возрастания убывания)
Слайд 6. Укажите множество значений функции( по готовому чертежу)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Слайд 7.Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
б) у=3x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа ( с использованием ПК).
Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания . Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.
Самостоятельная работа в программе Power point( для основной части
Самостоятельная работа( для сильной части класса)
Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.



Слайд 10.Соотнесите формулу функции с ее графиком

) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]СЛАЙД 26
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


5. Выполнение практической работы.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30
Решить уравнение:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]возрастает на всей области определения, а функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]”.
Решить уравнение 3x = (х-1) 2 + 3
Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1
Ответ: 2)
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33
Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций , стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков , необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше( ниже0 точек второго.
Решить неравенство:
а) сos x [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1 + 3x



Решение:

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])
Решить графически неравенство.
Что можно сказать про графики функций [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и график функции у=12 - 1,5х?
(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]>12 - 1,5х

Ответ: х>2. О

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
. Oтвет: х>0.


Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35
Повторим определение модуля.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](запись на доске)
Сделать записи в тетради:
1). [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2). [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Графическая иллюстрация представлена на слайде .Объяснить, как построены графики.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]13 EMBED Equation.3 1415

Е(у)=[1;[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Е(у)=(0;1]







.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]принимает значения >1, а – 1 < [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]> 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.
Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- вершина параболы.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Вопрос: определите характер монотонности функции.
Показательная функция у = 16t возрастает, так как 16>1 .
При наименьшем значении показателя функции
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Е(у)=[2;[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
График иллюстрирует наш вывод.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Вопрос: определите характер монотонности функции.
Показательная функция у = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]убывает, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]<1.
При наименьшем значении показателя функции
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Е(у)=(0;[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]].
График иллюстрирует наш вывод.
Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.38-40
Найти значение выражения х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ у[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],если (х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];у[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) является решением системы уравнений. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-параллельный перенос на 1 единицу влево.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- параллельный перенос на 2 единицы влево.
х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=-1, у[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=1
х[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ у[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0.

Ответ: 0.






Задание 6 Решение уравнений, содержащих параметры. Слайды 41-42.

При каких значениях параметра а уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]имеет нечетное количество корней?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще одно свойство функций – четность, нечетность. Функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]является четной, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Так как график четной функции симметричен относительно оси ординат, то если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]является корнем уравнения, то и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]тоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]является корнем. Подставляя [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]в уравнение, имеем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Дополнительные задания (при наличии времени).Слайд 43
Решить графически неравенство.
1).[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: (-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];2].
2). Ответ: (-1;0)
6.Домашнее задание ( с комментариями) Слайд 44
7. Подведение итогов урока .Слайд 45.
По мере изучения курса алгебры постоянно возрастает применение функционально-графических методов, что позволяет быстро и красиво решать многие уравнения и неравенства ЗНО









13PAGE 15


13PAGE 14115








Root Entry