Методическое руководство по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике по теме: «Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований»
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическое руководство
по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
по математике
по теме: «Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований»
для студентов 1 курса
по специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин
Председатель ПЦК
_____________
Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований.
Тригонометрические функции.
График функции y=sin x
При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.
Тогда функция y = sinx представляется графиком , который называется синусоидой.
Рисунок хорошо иллюстрирует все те свойства функции
у = sin х. Напомним эти свойства.
1) Функция у = sin х определена для всех значений х, так что областью ее определения является совокупность всех действительных чисел.
2) Функция у = sin х ограничена. Все значения, которые она принимает, заключены в интервале от —1 до 1, включая эти два числа. Следовательно, область изменения этой функции определяется неравенством —1< у < 1. При х = π/2 + 2kπ функция принимает наибольшие значения, равные 1, а при х = — π/2 + 2kπ — наименьшие значения, равные — 1.
3) Функция у = sin х является нечетной (синусоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = sin х периодична с периодом 2π.
5) В интервалах 2nπ < x < π + 2nπ (n — любое целое число) она положительна, а в интервалах π + 2kπ < х < 2π + 2kπ (k — любое целое число) она отрицательна. При х = kπ функция обращается в нуль. Поэтому эти значения аргумента х (0; ±π; ±2π; ...) называются нулями функции у = sin x
6) В интервалах — π/2 + 2nπ < х < π/2 + 2nπ функция у = sin x монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2kπ < х < 3π/2 + 2kπ она монотонно убывает.
График функции у = cos x
Как мы знаем, cos х = sin (х + π/2).
Поэтому если cos x принимает некоторое значение а при х = х0, то при х = х0 + π/2 это же значение а примет и sin x. Если аргумент х толковать как время, то можно сказать, что значения функции у = sinx как бы «запаздывают», или «отстают» от соответствующих значений функции у = cos x на π/2.
Отсюда можно заключить, что график функции у = cos x получается посредством сдвига графика функции у = sin x вдоль оси абсцисс влево на расстояние π/2.
Итак, график функции у = cos x есть синусоида, сдвинутая влево на π/2. Иногда такую кривую называют косинусоидой.
Косинусоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = cos х, которые раньше были нами доказаны. Предлагаем учащимся еще раз сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.
Графики функций у = tg x и у = ctg x
Функция y = tg x представляется кривой, которая называется тангенсоидой.
Тангенсоида хорошо иллюстрирует основные свойства функции у =tgx. Напомним
1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ.
2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.
3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат).
4) Функция у = tg x периодична с периодом π.
5) В интервалах nπ < х < π/2 + nπ функция у = tg х положительна,
а в интервалах — π/2 + nπ< х < nπ она отрицательна.
При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.
6) В интервалах — π/2 + nπ < х < π/2 + nπ
функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей.
Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4 . Это объясняется тем, что в интервал, соединяющий точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена.
Для построения графика функции у = ctg х следует воспользоваться тождеством ctg x = — tg (x + π/2)
Оно указывает на следующий порядок построения графика:
тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2;
полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс.
В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.
Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.
Графики обратных тригонометрических функций
Функция y=arcsinx
Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
График функции y = arcsinx.
Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
при
при
(область определения),
(область значений).
(функция является нечётной).
при
при x = 0.
Функция y=arccosx
Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
График функции y = arccosx.
Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей.
cos(arccosx) = x при
arccos(cosy) = y при
D(arccosx) = [ − 1;1], (область определения),
E(arccosx) = [0;π]. (область значений). (функция центрально-симметрична относительно точки
при
при
Функция y=arctgх
График функции .
Арктангенсом числа m называется такое значение угла α, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
при
при
Функция y= arcctgx
График функции y=arcctg x
Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.
при
при 0 < y < π,
(график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x.
Для построения графиков различных, более сложных функций, используем геометрические преобразования такие, как параллельный перенос и сжатие (растяжение) графиков функций относительно координатных осей
Пример
Построить график функции у = sin (х + π/3).
Решение
Для этого сравним данную функцию с функцией у = sin x, график которой мы уже умеем строить.
Пусть данная функция у = sin (х + π/3) при х = х0 принимает некоторое значение, равное y0. Тогда
y0 = sin ( х0 + π/3 ).
Но в таком случае функция у = sin x должна принять то же самое значение y0 при х = х0 + π/3 .
Таким образом, все значения, которые принимает функция у = sin (х + π/3) , принимает и функция у = sin х. Если х толковать как время, то можно сказать, что каждое значение y0 функцией у = sin (х + π/3) принимается на π/3 единицы времени раньше, чем функцией у = sin х.
Отсюда вытекает, что график функции у = sin (х + π/3 ) получается посредством сдвига синусоиды у = sin x по оси абсцисс влево на π/3 .
Аналогично можно было бы построить и графики таких функций, как у = cos (х + π/6 ), у = tg (х + π/4 ) и т. д.
Самостоятельная внеаудиторная работа
Самостоятельная работа по решению следующей задачи по вариантам, соответствующим порядковому номеру в журнале:
Варианты индивидуальных заданий (по уровням)
Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков элементарных функций.
Вариант
1 уровень 2 уровень 3 уровень
1 1. y=2sinx2. y = -cosx3. y=3tanx1. y=2sinx+2
2. y = -cos(x-1)
3. y=3arccot2x+1 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
2 1. y=-sinx2. y = -2cosx3. y=12cotx1. y=2arcsinx-42. y = -cos2x+23. y=3tan(x-4) Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
3 1. y=3sinx2. y = -3cosx3. y=2tanx1. y=2sinx+12. y = -arccos(x+1)3. y=3tan12x+3Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
4 1. y=23sinx2. y = 4cosx3. y=32tanx1. y=-arcsin3x+12. y = 2cos(x-3)3. y=cot2x+1 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
5 1. y=-2sinx2. y = 43cosx3. y=-3cotx1.y=-sin2x-12. y = -3arccosx+123. y=3tan(x-2) Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
6 1. y=-2sinx2. y = -cosx3. y=34tanx1. y=2sin(x+3)
2. y = -cos3x+13. y=3arccotx+5Исследовательская работа «Сложение гармоническихколебаний».
7 1. y=2sinx2. y = -3cosx3. y=-2cotx1. y=2sinx-12. y = -arccos32x+23. y=3tan(x+1) Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
8 1. y=23sinx2. y = -2cosx3. y=3tanx1. y=2arcsin(x-1)
2. y = -cos3x+33. y=3cotx-4 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
9 1. y=2sinx2. y = -cosx3. y=3cotx1. y=-2sinx+32. y = -cos(x-1)3. y=3arctan2x+1 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
10 1. y=25sinx2. y = -2cosx3. y=3tanx1. y=2sin4x+12. y = -3arccosx-13. y=3tan(x-2)Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
11 1. y=13sinx2. y = -cosx3. y=4tanx1. y=2sin13x+12. y = -cos(x-3)3. y=3arctanx+1 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
12 1. y=3sinx2. y = -cosx3. y=-3cotx1. y=-3arcsin(x+4)
2. y = -cos2x+23. y=3tan12x-1Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
13 1. y=-2sinx2. y = -3cosx3. y=32tanx1. y=2sin2x-12. y = -3arccosx-23. y=3cot(x-1)Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
14 1. y=4sinx2. y = -cosx3. y=34tanx1. y=2sin13x+12. y = -3cos(x+3)
3. y=3arctanx-4Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
15 1. y=-sinx2. y = -2cosx3. y=5tanx1. y=2arcsin(x-2)
2. y = -cosx+33. y=3tanx+4 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
16 1. y=2sinx2. y = -cosx3. y=3cotx1. y=2sin(x-1)
2. y = -arccosx-323. y=3tan2x-1Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
17 1. y=4sinx2. y = -52cosx3. y=3tanx1. y=2sin(x-3)2. y = -cos13x+23. y=3arctanx-1 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
18 1. y=-2sinx2. y = 32cosx3. y=2tanx1. y=2sinx+4
2. y = -arccos(x-1)3. y=3cot12x+2Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
19 1. y=2sinx2. y = -cosx3. y=3cotx1. y=2sin12x-1
2. y = -arccosx+3
3. y=3tan(x+2)Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
20 1. y=23sinx2. y = -3cosx3. y=4tanx 1. y=2sin(-x+2)2. y = -cosx+153. y=2arccotx-3Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний»
21 1. y=-2sinx2. y = -cosx3. y=32cotx1. y=2arcsinx-42. y = -cos(x-3)3. y=13tanx+4Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
22 1. y=3sinx2. y = -12cosx3. y=-3tanx1. y=2sin(x+1)2. y = -23arccosx-3
3. y=3cot2x+3 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
23 1. y=-3sinx2. y = 2cosx3. y=2cotx1. y=2arcsinx-1
2. y = -cos3x+33. y=3tan(x-12 )Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
24 1. y=25sinx2. y = -2cosx3. y=2tanx1. y=2sin(x-3)2. y = -cos4x+1
3. y=2arccot23x+3 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
25 1. y=-2sinx2. y = 13cosx3. y=-3cotx1. y=2sin(-x)+12. y = 12arccos(x+3)3. y=-3tan2x-1Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
26 1. y=-3sinx2. y = -cosx3. y=32tanx1. y=2arcsinx+2
2. y = -cos13x-33. y=3cot(x+2)Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
27 1. y=-4sinx2. y = -32cosx3. y=3cotx1. y=2sin(-x+1)2. y = -arccos25x+13. y=3tanx-4 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
28 1. y=-3sinx2. y = 2cosx3. y=35tanx1. y=2sin3x-12. y = -arccos(x+4)3. y=-3cotx+1Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
29 1. y=12sinx2. y = 3cosx3. y=-2cotx1. y=-3sin12x+12. y = -2cosx+3
3. y=3arctan(x-25 ) Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
30 1. y=-4sinx2. y = -23cosx3. y=2tanx 1. y=23arcsin(x+1)2. y = -42cosx-33. y=3cotx +2 Исследовательская работа «Сложение гармонических колебаний».
1 уровень - удовлетворительно,
2 уровень - хорошо,
3 уровень – отлично.
Содержание отчета
В тетради для внеаудиторных самостоятельных работ необходимо:
указать тему самостоятельной работы,
указать цель работы,
указать порядок выполнения заданий,
оформить решение задачи в тетради
Используемая литература
1.Математика (Книга 1) Колягин Ю.М. и др..М.: ОНИКС, 2008
2.Математика (Книга 2) Колягин Ю.М. и др.М.: ОНИКС, 2008
3.Практические занятия по математике Богомолов Н.В.М.: Высшая школа,2009