Конспект факультативного занятия «Предел последовательности»

Тема: «Предел последовательности и функции»
Количество часов: 3 часа.
Цели: создание условий для формирования понятия предела числовой последовательности, предела функции по Гейне, способов их вычисления; развитие внимания, математического мышления; воспитания самостоятельности.
Ход занятия:
- Здравствуйте! На первом занятии мы с вами повторили что такое последовательность и способы ее задания. На сегодняшнем занятии мы познакомимся с новым понятием для вас – предел числовой последовательности.
Рассмотрим знакомую уже для вас числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу A при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что последовательность имеет предел. Но так как мы имеем дело со строгими математическими понятиями, то и определение предела нам нужно рассмотреть тоже строгое: число A называется пределом числовой последовательности : , если для любого , существует номер N, зависящий от , такой что для всех n>N, будет следовать, что . Если число A есть предел числовой последовательности , то говорят, что ( стремиться к A). Это определение означает, что если последовательность имеет предел, то ее общий член неограниченно приближается к A при увеличении n. Если последовательность имеет предел, то последовательность называют сходящейся, в противном случае, расходящейся.
Пример:

Рассмотрим, каким образом, члены данной последовательности располагаются на числовой прямой:
К чему стремится предел этой последовательности? (к 0). Тогда предел числовой последовательности равен 0: .
: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1, …
Рассмотрим, каким образом, члены этой последовательности располагаются на числовой прямой:

Как вы думаете чему равен предел этой последовательности? (). Верно, предел числовой последовательности равен бесконечности: .
Геометрический смысл предела числовой последовательности заключается в следующем: если числовая последовательность имеет предел равный A, то это означает, что для любого существует номер N, зависящий от , такой что для всех n>N, будет следовать, что , т.е. все члены последовательности расположены внутри интервала . Т.к. все члены последовательности принадлежат интервалу, то можно записать это в виде неравенства: . Так же нам понадобится определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей. Последовательность называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого числа , найдется номер N, такой для всех n>N, будет выполнятся неравенство:. И, наоборот, последовательность будет являться бесконечно большой, если для сколь угодно малого числа , найдется номер N, такой для всех n>N, будет выполнятся неравенство: . Что это значит, если последовательность бесконечно малая, то ее предел будет стремиться к 0, если бесконечно большая, то ее предел стремится к .
Пример:
, потому как мы ранее показали, что предел этой последовательности при увеличении n будет равняться 0. - бесконечно малая последовательность.
: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1, …, потому как мы ранее показали, что предел этой последовательности при увеличении n будет равняться . .- бесконечно большая последовательность.
(На компьютерах выполняют в Excel построение последовательностей, и на основе полученного изображения делают вывод, о том какая последовательность.)
Какие из данных последовательностей будут являться бесконечно малыми, а какие бесконечно большими последовательностями:














Сделайте вывод о том, к чему стремится предел этой последовательности? (одновременно и к 0 и к бесконечности).
Если у нас есть последовательность , давайте изобразим к чему будут стремиться члены этой последовательности?(к бесконечности)

Это бесконечно большая или бесконечно малая последовательность? (бесконечно большая).
Чему будет равен предел этой последовательности , то какая это последовательность? (бесконечно малая).

Домашнее задание: рассмотреть и построить график последовательности:
Занятие второе теме:
Рассмотрим предельные свойства последовательностей. Если - сходящиеся последовательности, то есть , тогда:
;
;
;
;
, то ;
Если , где , тогда .
Доказательства всех свойств рассматривается через определение предела последовательности. Рассмотрим доказательство 2 для суммы.
, доказать что . Доказательство:
Запишем определение предела для последовательности :
Существует , зависящий от , такой что .
Запишем определение предела для последовательности :
Существует , зависящий от , такой что .
Надо доказать, что . Запишем снова определение предела: Существует , зависящий от , такой что . Неравенство выполняется, следовательно, свойство доказано.
Предлагаю доказательство о том, что константу можно выносить за предел, и предел разности равен разности пределов, разобрать сейчас вам самостоятельно.
(Доказательства рассматриваются учащимися самостоятельно на занятии в течении 5-7 минут, кто вперед выполнит, представляет свои рассуждения на доске, где учитель и другие ребята следят за правильностью его рассуждений).
Выполните следующие задания, в решение их вам помогут свойства сходящихся последовательностей.
Если , найдите предел последовательности
;
;
;
.
Если , найдите предел последовательности:
;
;
;
.
А каким же образом мы будем вычислять пределы?
Найдем предел последовательности: . . При подстановки, вместо n бесконечности получим . В этом случае поступим следующим образом: т.е. мы будем делить на n в наибольшей степени, в которой она присутствует в данном выражении. Алгоритм раскрытия неопределенности :
Выявить старшую степень переменной;
Деление на переменную в старшей степени.
Вычислите следующие пределы самостоятельно:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение:
Вычислите , если: . Решение: - не существует.
Занятие третье по этой же теме
-Последовательность является функцией? (да, только она определена на множестве натуральных чисел).
Предлагаю найти предел функции . (учащиеся самостоятельно вычисляют предел функции, подобно тому как они вычисляли предел последовательности).
Если вы обратили внимание, что вычисление данного предела функции ничем не отличается от того как мы вычисляли ранее предел последовательности, отличие только в том, что вместо n у нас в данном примере стоит x.Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями).
Для любого натурального показателя n и любого коэффициента k справедливо соотношение: .
Если , то
предел суммы равен сумме пределов: ;предел произведения равен произведению пределов: ;предел частного равен частному от деления пределов ;
постоянный множитель можно вынести за знак предела: .
Домашнее задание: докажите самостоятельно предел суммы, и то, что постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Вычислите пределы функции на бесконечности (учащиеся по одному выходят к доске):






Предел функции мы можем вычислять как на бесконечности, так и в какой-то одной определенной точке. Определение предела функции по Гейне, это определение через последовательности. Число A называется пределом функции f(x) в точке: , если для любой последовательности , стремящейся к , при n стремящимся к бесконечности, где , будет следовать, что. Рассмотрим пример 1: вычислить предел функции.
Воспользуемся определением предела функции по Гейне: для любой последовательности , , должно следовать, что . Данный предел вы уже умеете вычислять, пользуясь предельными свойствами (учащиеся самостоятельно вычисляют и сообщают результат учителю).
Исходя из определения предела функции в точке, вычислите следующие пределы:
;
;
;
;
.
Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях, и знакомимся мы с этим разделом, потому как вычисление пределов нам понадобится при изучении темы: «Числовые ряды».