Урок математики в 8 классе. Несколько способов решения квадратных уравнений.

МБОУ «Ленинская средняя общеобразовательная школа»
Ленинского района Тульской области
Образовательная область - математика
Несколько способов решения квадратных уравнений
Класс 8
Елена Анатольевна Кусачева, учитель
математики
п. Ленинский
2013г.
Тема урока: «Несколько способов решения квадратных уравнений»
Тип урока: комбинированный
Цель урока: дать конкретные представления о решении квадратных уравнений и рассмотреть несколько новых способов решения этих уравнений.
Задачи урока:
образовательные: систематизировать, обобщить и углубить знания, умения и навыки учащихся по теме решения квадратных уравнений, рассмотреть различные способы решения, провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Воспитательные: продолжить формирование научного мировоззрения учащихся, воспитывать умения организовывать свой учебный труд, соблюдать правила работы в коллективе.
Развивающие: развивать познавательный интерес школьников, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным формам решения квадратных уравнений, сформировать у них положительный мотив учения.
Оборудование: доска, компьютер, методические пособия.
Ход урока.
Организационный момент.
Учитель приветствует учеников, фиксирует отсутствующих. Затем сообщает тему и цель урока. Учащиеся записывают тему урока в тетрадь.
Введение.
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Вы все умеете решать квадратные уравнения. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберем подробно каждый способ. Повторим те способы, которые мы изучили и разберем новые.
Повторение изученных способов решения квадратных уравнений.
На компьютере записано квадратное уравнение, предложенное на едином государственном экзамене. Каким из изученных способов решения можно быстро и рационально решить это уравнение?
63х2 – 43х – 20 = 0.
Повторим эти способы.
Способ разложения на множители:
Решим уравнение х2 +10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители:
X2 +10х – 24 = х2 +12х – 2х – 24 =x(x + 12) – 2 (x +12) = (x + 12)(x – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так: (x +12)(x – 2) = 0.
Левая часть уравнения обращается в нуль при x = 2, а также при x = -12. Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x2 + 10x – 24 = 0.
Ответ: -12; 2.
Метод выделения полного квадрата:
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат, для этого прибавим к ней и вычтем 32, получаем
Х2 + 6х + 32 – 32 – 7 = 0,
(х +3)2 – 16 = 0, таким образом, данное уравнение можно записать так:
( х + 3)2 = 16. Следовательно,
Х + 3 = 4, х = 1, или х + 3 = -4, х = -7.
Ответ: -7; 1.
Графический способ решения:
Решим уравнение х2 – 3х – 4 = 0.
Рассмотрим функцию у = х2 – 3х – 4, квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы.
х0=-b/2а, х0 =1,5.
у0 =1,52 – 4,5 – 4 = -6,25, (1,5; -6,25) – координаты вершины параболы.
х -1 0 1 1,5 2 3 4
у 0 -4 -6 -6,25 -6 -4 0
23436-1181 у

-1 0 4 Х

Точки пересечения с осью Х и являются решением данного уравнения.
Ответ: -1; 4.
Решение квадратных уравнений по формулам:
Решим уравнение 4х2 + 7х +3 = 0,
а=4, b=7, c=3, D = b2 - 4ac = 49-48=1, 1>0 уравнение имеет 2 различных действительных корня.
х1=-1, х2=-0,75.
Ответ:-1; -0,75
Решим уравнение 4х2 – 4х +1 = 0,
a= 4, b=-4, c=1, D = b2 – 4ac = 16 – 16 = 0, D=0, уравнение имеет один корень.
х = 0,5.
Ответ:0,5.
Решим уравнение 3х2 -14х + 16 = 0.
a=3, b=-14- четное число, с=16, D/4= (b/2)2 – ac = 49 – 48 = 1, 1>0, уравнение имеет два различных действительных корня .
х1=2, х2=8/3.
Ответ:2; 8/3.
Решение уравнений с использованием формул Виета.
Решим уравнение x2 + 4x – 5 = 0.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид
х1 + х2 = -4,
х1х2 = -5.
Отсюда можно сделать следующие выводы: х1 = -5, х2 = 1.
Ответ: -5; 1.
Рассмотрение новых способов решения.
Всеми этими способами можно решить уравнение, предложенное в начале урока, но будет сложно и долго. Рассмотрим еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые в школьной программе не изучаются, но с помощью, которых быстро и рационально можно решить, например, данное уравнение.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения:
ax2 + bx + c = 0,
если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а и
если а - b +с = 0, то х1 = -1, х2 = -с/а.
Решим данное уравнение, пользуясь этим свойством.
63х2 – 43х – 20 = 0,
63 + (-43) + (-20) = 0, то х1 = 1, х2 = -20/63.
Ответ: -20/63; 1.
Чтобы закрепить это свойство, решим следующие уравнения:
а) 5х2 - 7х + 2 = 0;
б) 3х2 + 5х – 8 = 0;
в) 11х2 + 25х – 36 = 0;
г) 11х2 + 27х + 16 = 0;
д) 839х2 – 448х – 391 = 0.
Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, где а ≠0.
Умножая его обе части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2 + by + аc = 0, равносильного данному. Его корни у1 и у2 находим с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х2 = у2/а.
При этом способе, коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, получим уравнение:
У2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета у1 = 5, у2 = 6. Далее х1 = 5/2 =2,5; х2 = 6/2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
Решите уравнения, используя метод «переброски»:
а) 23х2 + 12х – 35 = 0,
б) 2х2 – 9х + 9 = 0,
в) 3х2 + х – 4 = 0,
г) 4х2 + 12х + 5 = 0,
д) 6х2 + 5х – 6 = 0.
5. Итог занятия.
Подвести итог занятия. Какие способы изучили на уроках, и какие рассмотрели на сегодняшнем занятии? Являются ли они быстрыми и рациональными способами решения? Теперь и на уроках при решении квадратных уравнений можно применять эти способы решения.
Спасибо за урок.