По математике на тему Функциональный метод решения уравнений и неравенств(10 класс)

Функциональный метод решения уравнений и неравенств



Содержание
Введение 2
Использование понятия области определения функции 2
Использование понятия области значений функции 3
Использование свойства монотонности функции 6
Использование свойств четности или нечетности функций 8
Использование свойства периодичности функции 9
Метод функциональной подстановки 10
Литература 11































Функциональный метод решения уравнений и неравенств.

Введение.

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решений уравнений и неравенств.
Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.
Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1
·D2. Ясно, что когда множество D пустое (D = Ш), то уравнение решений не имеет.
Пусть требуется решить неравенство f(x) > 0. D(f) область определения функции f(x). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) > 0, то D(f) представляет собой решение данного неравенства.
Примеры.

1) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415=5
Решение.
ОДЗ: 1-x13 EMBED Equation.3 14150, x13 EMBED Equation.3 14151, 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет.
x-313 EMBED Equation.3 14150 x13 EMBED Equation.3 14153

Ответ: Ш

2) Решите уравнение: arcsin(x+2) + 13 EMBED Equation.3 1415= x - 2
Решение.
ОДЗ: -113 EMBED Equation.3 1415x+213 EMBED Equation.3 14151, -313 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 1415-1, -313 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 1415-1, 13 EMBED Equation.3 1415решений нет
2x-x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150 x(2-x)13 EMBED Equation.3 14150 013 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 14152

Ответ: Ш

3) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415= x13 EMBED Equation.3 1415- 1
Решение.
ОДЗ: x-113 EMBED Equation.3 14150, 13 EMBED Equation.3 1415x =1
1-x13 EMBED Equation.3 14150

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.
x =113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=113 EMBED Equation.3 1415-1, 0=0. Верно.

Ответ: 1
4) Решите уравнение: arccos(6x-x13 EMBED Equation.3 1415-10)=13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ: 6x-x13 EMBED Equation.3 1415-1013 EMBED Equation.3 1415-1, x=3, 13 EMBED Equation.3 1415 x =3
6x-x13 EMBED Equation.3 1415-1013 EMBED Equation.3 14151 3-213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 14153+213 EMBED Equation.3 1415

ОДЗ состоит из одной точки x =3. Остается проверить, является ли x=3 корнем уравнения. x =313 EMBED Equation.3 1415 arccos(6*3-313 EMBED Equation.3 1415-10)= 13 EMBED Equation.3 1415, arcos(-1)=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415. Верно.
Ответ: 3

5) Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14151
Решение.
1.Область определения левой части: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14151.
2.Для любого x из области определения выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14151
Ответ: x13 EMBED Equation.3 1415(-13 EMBED Equation.3 1415;-1]13 EMBED Equation.3 1415[1;+ 13 EMBED Equation.3 1415).
Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f(x) называется множество значений переменной у, при допустимых значениях переменной х.
Функция у = f(x) называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство 13 QUOTE 1415 < N.
Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) элементарные функции, определенные на множествах D1 , D2. Обозначим область значений этих функций соответственно Е1 и Е2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) значение функции f(x) при х = х1, a g(x1) значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1
· Е213 EMBED Equation.3 1415 Ш). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Примеры.

1) Решите уравнение: cos213 EMBED Equation.3 1415x = x13 EMBED Equation.3 1415-8x+17
Решение.
cos213 EMBED Equation.3 1415x = (x-4)13 EMBED Equation.3 1415+1
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
-113 EMBED Equation.3 1415 cos213 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 14151; (x-4)13 EMBED Equation.3 1415+113 EMBED Equation.3 14151
Равенство достигается, если cos213 EMBED Equation.3 1415x =1, x=4
(x-4)13 EMBED Equation.3 1415+1 = 1
Ответ: 4.

2) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=2
Решение.

ОДЗ: x13 EMBED Equation.3 14150 , 13 EMBED Equation.3 1415 x13 EMBED Equation.3 14150
x+913 EMBED Equation.3 14150
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14150, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153, 13 EMBED Equation.3 1415решений нет.
Ответ: Ш

3) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
013 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 для допустимых значений x
013 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153 для допустимых значений x
Равенство достигается, если 13 EMBED Equation.3 1415=3
13 EMBED Equation.3 1415=3
Решим первое уравнение системы:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
x-1= -1; x =0
При x =0 второе уравнение обращается в верное равенство, следовательно, решением системы и уравнения является x =0.
Ответ: x =0.

4) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равенство достигается, если 13 EMBED Equation.3 1415

Из второго уравнения системы имеем х = 3. Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = 3 является решением системы.
13 EMBED Equation.3 1415 3 - корень уравнения.
Ответ: 3.

5) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Равенство достигается, если

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: –1,5

6) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решением первой системы является 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Вторая система решений не имеет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
7) Решите неравенство: .


ОДЗ:


На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая - положительная.

Ответ: [5; +
·).

8) Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415>2
Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
При любом 13 EMBED Equation.3 1415из области определения 13 EMBED Equation.3 1415 >0, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то13 EMBED Equation.3 1415>2 на всей области определения.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

9) Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
Так как при любом x справедливы неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при x =0.
Ответ: x =0.
10) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом x, поэтому уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: Ш.

Использование свойства монотонности функции.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента х 13 EMBED Equation.3 1415 X соответствует большее (меньшее) значение функции f(x), то есть для любых х1 и х2 из промежутка X таких, что х2 > х1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).
Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.
Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, используемых для установления характера монотонности функций и лежащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.
Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.
Теорема 2. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция h(х) = f(x) + g(x) + С также возрастает (убывает) на промежутке X (С произвольная постоянная).
Теорема 3. Если функция f(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, функция g(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, С > 0, то функция h(х) = С
· f(x)
· g(x) также возрастает (убывает) на промежутке X.
Теорема 4. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция – f(x) убывает (возрастает) на этом промежутке.
Теорема 5. Если функция f(x) монотонна на промежутке X и сохраняет на этом множестве знак, то функция 13 EMBED Equation.3 1415на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.
Теорема 6. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(х) = f(g(x)) возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h(х) = f(g(x)) убывающая функция.
Теоремы об уравнениях и неравенствах.
Теорема 7. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке X не более одного корня.
Теорема 8. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке X уравнению g(x) = h(x) .
Теорема 9. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то неравенство f(g(x)) < f(h(x)) равносильно на промежутке X неравенству g(x) < h(x) ( g(x) > h(x)).
Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих неравенств.
Теорема 10. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, а g(x) убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке X не более одного корня.
Теорема 11. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, то уравнение f(f(x)) = х равносильно на промежутке X уравнению f(x) = х
Примеры.

1) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415х 2 + 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на промежутке (-13 EMBED Equation.3 1415;-0], а 13 EMBED Equation.3 1415 - постоянная функция.
Подбором находим, что x =- - 4. В силу теоремы 7, найденный корень единственный.
Ответ: - 4.
2) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 - функция убывает на 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - функция возрастает.
Подбором находим, что 13 EMBED Equation.3 1415.
В силу теоремы 10 утверждаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 единственный корень уравнения.
Ответ: 3
3) Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает на 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает на этом отрезке.
Подбором находим, что 13 EMBED Equation.3 1415
В силу теоремы 10 утверждаем, что 13 EMBED Equation.3 1415 единственный корень уравнения.
Ответ:0,5

4) Решите уравнение: x3 + 33 = - 2х
Решение.
ОДЗ уравнения: х є R.
Функция у(х) = x3 + 33 - возрастает на R,
Функция g(х) = - 2х - убывает на R.
Значит уравнение имеет не более одного корня.
Подбором x = -3.
Ответ: -3.

5) Решите уравнение: x5 + x3 + х = - 42
Решение.
ОДЗ : х є R.
Функция у(х) = x5 + x3 + х - возрастает на R,
Функция g(х) = - 42 постоянна на R.
Значит уравнение имеет не более одного корня.
Подбором x = -2.
Ответ: -2.
6) Решите уравнение: 13 QUOTE 1415 = 8 -2х
Решение.
ОДЗ: х 13 QUOTE 1415- 1.
Левая часть уравнения задает возрастающая, а правая убывающая функции.
Значит, это уравнение имеет не более одного корня.
Подбором x = 3.
Ответ: 3.
7) Решите систему уравнений 13 QUOTE 1415
Решение.
Рассмотрим функцию Z = f(t) = 2t - sin t, тогда систему можно записать в виде 13 QUOTE 1415
Так как f ’13 QUOTE 1415 = 213 QUOTE 1415 - sin 13 QUOTE 1415 < 0 при любом t, то функция f-возрастающая, и
поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении
аргумента.
Следовательно уравнение 13 QUOTE 1415равносильно уравнению x = y, а данная система равносильна системе 13 QUOTE 1415
Полученная система имеет единственное решение x=y=3.
Ответ: x=3; y=3.
Использование свойств четности или нечетности функций

Функция f(x) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция f(x) называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).
Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная равные по абсолютной величине, но противоположного знака.
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.
Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.
Пусть имеем уравнение или неравенство F(х) = 0, F(х) > 0, (F(х) < 0), где F(х) четная или нечетная функция.
а) Чтобы решить уравнение F(х) = 0, где F(х) четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записываются отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(х). Для четной функции значение х = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
б) Чтобы решить неравенство F(х) > 0 (F(х) < 0), где F(х) четная функция, достаточно найти его решения для х 13 EMBED Equation.3 1415 0 (или х 13 EMBED Equation.3 1415 0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (х1; х2), где х1, х2 числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (-х2; -х1).
в) Чтобы решить неравенство F(х) > 0 (F(х) < 0), где F(х) нечетная функция, достаточно найти решения для х > 0 (или х < 0). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(х) для х > 0 (или х < 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для х < 0 (или х > 0).
Примеры.
1) Может ли при каком-нибудь значении a уравнение иметь 2x13 EMBED Equation.3 1415-3ax13 EMBED Equation.3 1415+4x13 EMBED Equation.3 1415-ax13 EMBED Equation.3 1415=5 пять корней?
Решение.
Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения – четная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом a четно. Поэтому пяти корней оно иметь не может.
Ответ: не может.
2) Решите уравнение: x13 EMBED Equation.3 1415+513 EMBED Equation.3 1415-24=0
Решение.
ОДЗ:x13 EMBED Equation.3 1415R
Функция f(x)= x13 EMBED Equation.3 1415+513 EMBED Equation.3 1415-24 – четная, x=0 – не является корнем уравнения, поэтому достаточно найти решения для x>0
x>0 , x>0 , x=3
x13 EMBED Equation.3 1415+513 EMBED Equation.3 1415-24=0 x=3
x=-8
Тогда x = -3 так же является корнем уравнения.
Ответ: -3;3.

Использование свойства периодичности функции

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т 13 EMBED Equation.3 14150, что для любого значения х, взятого из области определения, значения х + Т, х - Т, также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + Т) = f(x) = f(x – Т). Число Т называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное количество периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать наименьший положительный период функции.
Если функция F(х) периодическая, то решение уравнения F(х) = 0 или неравенства F(х) > 0 (F(х) < 0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записывается общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.

1) Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415<0
Рассмотрим функцию f(х) = cos 12х - cos 4х.
Её период
13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции. За такой промежуток возьмем 13 EMBED Equation.3 1415. Так как функция чётная, решение найдём на промежутке [0;13 QUOTE 1415]. Функция на данном промежутке имеет два корня: 0; 13 QUOTE 1415 - которые разбивают промежуток [0;13 QUOTE 1415] на два интервала знакопостоянства: (0;13 QUOTE 1415 ); (13 QUOTE 1415 ;13 QUOTE 1415 ). Неравенство выполняется для всех
х є (13 QUOTE 1415 ;13 QUOTE 1415 ). Но тогда оно будет выполняться и для всех (13 QUOTE 1415 ;13 QUOTE 1415 ).
Учитывая периодичность: 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 < х <13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415 < х < 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415.
Ответ:13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 < х <13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415 < х < 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415.


Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y =
·(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

1) Решите уравнение: tgx + ctgx + tgІx + ctgІx + tgіx + ctgіx = 6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y = tgx + ctgx, тогда tgІx + ctgІx = yІ – 2, tgіx + ctgіx = yі – 3y

yі + yІ - 2y – 8 =0
yі - 8 + yІ - 2y =0, (у – 2)(у2 + 2у +4) + у(у – 2) = 0, (у – 2)(у2 + 2у +4 + у) = 0, (у – 2)(у2 + 3у +4) = 0,
y = 2
Так как tgx + ctgx = 2, то tgx + 13 EMBED Equation.3 1415= 2. Отсюда следует, что tgx = 1 и x = +
·n, 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: +
·n, 13 EMBED Equation.3 1415.















Литература
Ковалева Г. И., Бузулина Т. И, Безрукова О. Л., Розка Ю.А.
Математика для учащихся 11 класса и поступающих в вузы: тренировочные тематические задания. Волгоград: «Учитель», 2005.
Егэ 2007 МАТЕМАТИКА тематические тренировочные задания. ООО Изд. «Эксмо» 2007.
Егэ 2007 МАТЕМАТИКА тренировочные задания. Изд «Просвещение», Изд. «Эксмо» 2007.
Егэ 2007 МАТЕМАТИКА. КИМ. М. «Просвещение» ФИПИ 2007.
Ткачук В. В, Математика – абитуриенту. Том 1. Том 2. – М.: МЦНМО, 1997.
Егэ 2008 Математика Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ. ФИПИ М.:АСТ – Астрель.











13PAGE 15


13PAGE 14115



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native