«Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»

Пояснительная записка
ФИО (полностью) Андреенко Светлана Сергеевна
Должность Учитель математики
Предмет Алгебра
Класс 8-9
Тема «Решение квадратных уравнений с параметром в соответствии с требованиями ФГОС»
Базовый учебник Алгебра. 8,9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. — 18-е изд.-М.: Просвещение, 2011.-271 с
Цель: обучение умению решать квадратные уравнения, с параметрами алгебраическим и функционально – графическим методом при подготовке к ГИА.
Задачи:
- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;
-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;
-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:№ Этапы решения задач Формируемые УУД
Анализ условия (введение буквенных обозначений) целеполагание;
выделение существенной информации;
формулирование задачи и прогнозирование способов решения;
абстрагирование;
аналогия;
классификация (типологизация);
знакосимволические действия.
Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями планирование;
систематизация;
знакосимволические действия;
моделирование.
Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона) создание способа решения задачи;
корректировка условия;
моделирование в графическом виде.
Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного) анализ и выявление существенной информации;
выведение следствий;
построение цепи рассуждений;
выдвижение и проверка гипотез;
преобразование модели.
Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней) анализ;
выведение следствий;
конкретизация;
знакосимволическое действие (интерпретация).
Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению) анализ;
синтез;
поиск аналогов;
построение цепи рассуждений;
умение сжато передать содержание;
умение схемы, символы, модели;
создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
Рефлексия смыслообразование;
планирование;
контроль;
коррекция;
оценка;
волевая саморегуляция;
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
умение самостоятельно определять цели своего обучения;
ставить и формулировать для себя новые задачи;
развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.
1.Базовые задачи по квадратичной функции
Рассмотрим следующие методы: метод сведения задачи к равносильной, перебор различных значений параметра, замена переменной, выявление необходимых и достаточных условий или необходимых условий.
Функция y = ax2+bx+c (a≠0) задает параболу с вершиной в точке С(xB;yB).
Функция y = a(x-m)2+n(a≠0) задает параболу с вершиной в точке
С(m; n).
Пустьf(x) = ax2+bx+c (a≠0).
Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 (a≠0) (1)
не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0.
Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0.
Квадратное уравнение (1) имеет два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда D≥0.
Квадратное уравнение (1) имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда
D>0,x1x2>0,x1+ x2>0b2-4ac>0,ca>0,-ba>0 или D>0,a∙f(0)xВ>0.>0, Квадратное уравнение (1) имеет два различных отрицательных корня тогда и только тогда, когда
D>0,x1x2>0,x1+ x2<0b2-4ac>0,ca>0,-ba<0 или D>0,a∙f(0)xВ<0.>0,Квадратное уравнение (1) имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда x1x2<0 ca<0ac<0a∙ f0<0.Квадратное уравнение (1) имеет корень, равный нулю тогда и только тогда, когда x1x2=0 с=0.
-708660109601000Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 <x0 тогда и только тогда, когда D>0,a∙f(x0)xВ<x0.>0,Квадратное уравнение (1) имеет два корня x1<x0<x2 тогда и только тогда, когда a∙fx0<0.-19431022225000
Квадратное уравнение (1) имеет два разных корня x1, x2 >x0 тогда и только тогда, когда D>0,a∙f(x0)xВ>x0.>0,
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни, принадлежащие интервалу
(M;A), где М<Aтогда и только тогда, когда
-73660114617500D>0,xВ>M,xВ<A,a∙fM>0,a∙fA>0.12. Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<x2<Aтогда и только тогда, когда a∙fM<0,a∙fA>0.
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни M<x1<A<x2 тогда и только тогда, когда a∙fM>0,a∙fA<0.
Квадратное уравнение (1) имеет различные корни x1<M<A<x2 тогда и только тогда, когда a∙fM<0,a∙fM<0.
Рис. 7
Квадратное уравнение (1) имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.
1.1. Примеры решений уравнений с параметром
1. Базовые задачи
Задачи этого блока решаются либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение
x2+x+2a-1a+5=0
не имеет решений?
Решение.(Базовая задача 1).
При а=-5 уравнение не имеет смысла.
D= b2-4ac=1-42a-1a+5=a+5-8a+4a+5=-7a+9a+5.
Квадратное уравнение не имеет корней при D<0-7a+9a+5<07a-9a+5>0-7а+9=0;а=97;
а∈-∞;-5∪(97;+∞).
Ответ:-∞;-5∪(97;+∞).
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
(3а-1)x2+2аx +3а-2=0
имеет два действительных различных корня?
Решение. (Базовая задача 2).
1. Если 3а-1=0, т. е. 3а=1; а=13, то уравнение линейное 23х+1-2=0; 23х-1=0имеет единственный корень.
При а≠13D4=k2-ac=a2-(3a-1)(3a-2)= a2- 9a2+3a+6a-2=-8a2+9a-2,
квадратное уравнение имеет два различных корня, если D4>0,
-8а2+9а-2>0 8а2-9а+2<0, а1,2=9±81-6416=9±1716.
Ответ:( 9-1716;13)∪(13;9+1716).
Пример 3. Найти все значения a, при которых уравнение

имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).
Решение: (Базовая задача 15).
Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (M;A), а другой вне этого интервала тогда и только тогда, когда f(M)∙f(A)<0.
f(M)=f(1)=a-5, f(A)=f(7)=7+a,получим неравенство(a-5)(a+7)<0,решая его методом интервалов, получим: -7<a<5.
Ответ:-7<a<5.
Пример 4. При каких а уравнение имеет единственное решение?
Решение: естественно начать решение со случая, а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а  0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 – 2а принимает значение, равное нулю, при а = .
Ответ: а = 0 или а = .
Пример 5. При каких а уравнение имеет более одного корня?
Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а  0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант – положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ: или .
Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение имеет:
а) два положительных корня;
б) два отрицательных корня;
в) единственный корень?
Решение:

если b 1, то
а) согласно теореме Виета , b (– ; – 1) ( – 1; + )
б) , решений нет
в) если b = 1, то –2х + 2 = 0
х = 1
b 1; .
Ответ:а) b (– ; – 1) ( – 1; + );
б) таких b не существует;
в) х = 1.
Пример 7. Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0
Решение: D = b2 – 16.
а) если |b|> 4, т.е. b < – 4 и b > 4, то D >0 и уравнение имеет 2 корня

б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2
в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.
Ответ:         если b < – 4 и b > 4, то 2 корня  
если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.
если – 4 < b < 4, то корней нет.
 
2. Модифицированные задачи
В задачах этого блока требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра. Они видоизменены за счёт:
Увеличения технической сложности и трудности
Переформулирование условия задачи и создания способов её решения
Необычной формы представления условия задачи
Пример 1. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты a, b , c уравнения
ax4+bx2+c=0
чтобы уравнение имело четыре различных действительных корня?
Решение. (Модифицированная задача 4)
Данное уравнение имеет четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет два различных положительных корня. Это выполняется в том и только в том случае, когда выполняются условия b2-4ac>0, ba<0, ca>0.
Последние два условия равносильны следующим ab<0, ac>0.
Ответ:
Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых среди корней уравнения
ах2+x(а+4)+а+1=0
имеется ровно один отрицательный.
Решение. (Модифицированная задача 6).
1. При а=0 уравнение линейное 4х+1=0х=-14 - удовлетворяет условию задачи.
2. При а≠0 D=b2-4ac=(a+4)2-4a(a+1)=a2+8a+16-4a2-4a=-3a2+4a+16;
а) D=0-3a2+4a+16=0;3a2-4a-16=0;
a=2±4+483=2±523=2±2133.
Пусть а=2±2133, тогда х=-a-42a>0Пусть a=2±2133, тогда х=-a-42a<0 - удовлетворяет условию задачи.
б) Уравнение имеет корни разных знаков тогда и только тогда, когда ас<0, т.е. a+1a<0, a∈(-1;0).
в) Один из корней равен нулю, если c=0, т.е. a+1=0,a=-1, тогда
-x2+3x=0, x2-3x=0, x(x-3)=0.
x2=3-не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:(-1;0)∪2-2133.
Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
х2-(|а+5|-|а-5|)х+(а-12)(а+12)=0
имеет два различных отрицательных корня.
Решение. (Модифицированная задача 5).
Квадратное уравнение имеет два разных отрицательных корня, если D>0,x1x2>0,x1+x2<0b2-4ac>0,ca>0,-ba<0.Рассмотрим систему из второго и третьего условий:
a-12(a+12)>0,a+5-|a-5|<0.1.(a-12)(a+12)>0приa∈(-∞;-12)∪(12;+∞).
2. |a+5|-|a-5|<0.
Решив второе неравенство методом интервалов, получимa<0, решение системы неравенств: a∈(-∞;-12).
Решим систему:
a<-12,(a+5-a-5)2-4a2-144>0;(a+5)2-2|a-5||a+5| +(a-5)2-4a2+576>0;
a2+50-4a2+576-2(a2-25)=2a2-2a2-4a2+676=-4a2+676;
-4a2+676>0;a2-169<0; (a-13)(a+13)<0, отсюдаa∈(-13;-12)
Ответ:-13<а<-12.
Пример 4.Найти все значения a , при которых уравнение
имеет два действительных корня и такие, что.
Решение.(Модифицированные задачи 6 и 11).
Квадратное уравнение имеет корни разных знаков, принадлежащие интервалу (-4; 4), тогда и только тогда, когда выполняются условия:
f0<0,f-4>0,f4>0; т.е.
Решая систему, получаем .
Ответ:
Пример 5.Найти все значения a, при которых уравнение
имеет только целые корни.
Решение:
Пусть , тогда уравнение линейное: 3x+3=0, x=-1. Поэтому удовлетворяет условию задачи.
Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению .
Если x1, x2- целые корни уравнения, то, по теореме Виета, их сумма -4-3a, их произведение 2a+4+3/a - целые числа, откуда следует, что их сумма, т.е. -целое число.
Пусть , где , тогда , причем - целое число. Отсюда следует, что n- делитель числа 6, т.е. n может принимать значения из множества чисел .
Проверка. При n=1 a=12,уравнение x2+10x+11=0,корни иррациональные;
приn= - 1 a= - 12, уравнение x2 – 2x – 3=0, x1=-1, x2=3 - целые корни;
при n=2 a=1, x2+7x+9=0, корни иррациональные; при n=-2 a=-1, x2+x-1=0, корни иррациональные; при n=3 a=32, x2+6x+9=0, x=-3–целый; при n=-3
a= - 32,x2+2x -1=0- корни иррациональные.
Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни являются целыми числами. Ответ:.
Пример 6. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?
Решение.
По условию задачи уравнение имеет корни, значит .
.
. Это неравенство выполняется при любом значении m,
т. е. исходное уравнение при любом значении m имеет корни.
Если х1 и х2 – корни уравнения , то по теореме Виета , .
.
.
Из условия задачи следует, что нам необходимо узнать, при каком значении m квадратный трехчлен принимает наименьшее значение. Т. к. графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, то наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: .
Итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при .
Ответ: при .
Пример 7. При каком значении q один корень уравнения равен квадрату второго?
Решение: Если корни уравнения связаны соотношением , то по теореме Виета .
Тогда , ,
;
; .
Ответ: ; .Пример 8. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
лежат по разные стороны числа от числа 3?
Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Графиком является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1).
Изобразим геометрическую модель задачи.
016256000 y х1 3 x2 x
у(3)
Перейдем от геометрической модели к аналитической.
Замечаем, что у(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях D>0 автоматически.
Поэтому система неравенств будет содержать одно неравенство: у(3)<0, т.е. 9-6а-3+4-а<0, -7а<-10, а>.
Ответ:
3. Нестандартные задачи
Задачи для которых требуется найти все те значения параметра при которых указанная задача имеет заданное число решений. Они носят исследовательский характер. Их решение основывается на :1.Методе выдвижения гипотез
2. Видения нового ракурса решения
3.Подключения новых идей и новых комбинаций
Пример 1. При каких значениях параметра а только больший корень квадратного уравнения принадлежит промежутку [-1;0).
Решение. Рассмотрим квадратный трехчленГрафиком является парабола. Ветви направлены вверх. Изобразим геометрическую модель задачи. Пусть х2 – больший корень уравнения. По условию задачи только больший корень принадлежит промежутку.
6705607874000 y(х)
y(0)

x1 -1 х2 0 х
y(-1)
Замечаем, что у(0)>0, а у(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях D>0.
Составим систему неравенств и решим ее.

Ответ: .
Пример 2. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена ?
Решение. Чтобы число 1 находилось между корнями квадратного трёхчлена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
.
,
,
.
-22860-196215 + - +
-1 2
-1 2 а
00 + - +
-1 2
-1 2 а
2743200-114300002628900-114300002514600-114300002400300-114300002286000-114300002171700-114300002057400-11430000914400-11430000800100-11430000685800-11430000571500-11430000457200-114300002058670-62865001029970-6731000457200000
.
При число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена .
Ответ: при .
Пример 3. Определите количество разных корней уравнения |х2-4х+3|=3а-2а2 в зависимости от параметра а.
Решение. В одной системе координат построим графики функций
f(x)=| х2-4х+3|; g(x)=3a-2a2=A-прямая; f(x)=x2-4х+3-x2+4х-3;х2-4х+3≥0х2-4х+3<0;х2-4х+3=( х2-4х+4) -1=(x-2)2-1;(2;-1)
-165735-66802000 у=| х2-4х+3|
у=A
у=A
При А<0 корней нет;
При А=0 и при А>1 два корня;
При А∈(0;1)0<А<1 четыре корня;
При А=1 три корня.
1 случай. 3a-2a2<0 а(3-2а)<0; (-∞;0)∪(1,5;+∞)
2 случай. 3a-2a2=0;а=0 или а=1,5; 3a-2a2>12а2-3а+1<0
Это неравенство второй степени, решим его графически
2а2-3а+1=0; а1=1 или а2=0,5 (0,5;1).
3 случай. 0<3a-2a2<1
3a-2а2>03a-2а2<11)3a-2a2>0 2) 3a-2a2<1;
а(3-2а)>0 2а2-3а+1>0;
а1=0 или а2=1,5 а1=1 или а2=0,5;
(0;1,5) (-∞;0,5)∪(1;+∞)
(0;0,5)∪(1;+∞).
4 случай. 3а-2а2=1;а1=1 или а2=0,5
Ответ: если (-∞;0)∪(1,5;+∞) уравнение корней не имеет;
если (0;1)∪0;1,5уравнение имеет два корня;
если а=1, а=0,5 уравнение имеет три корня;
Если а∈(0;0,5)∪(1;1,5) уравнение имеет четыре корня.
Пример 4. Определить значения параметра а, при которых уравнение
|(x+а)2-9|+2|х|-х2-2ах-а2+5=0 будет иметь наибольшее число корней.
Решение. Приведем уравнение к следующему виду:
(x+a)2-9-((x+a)2-9)=4-2x (*).
Рассмотрим два случая:
|(x+а)2-9|=(х+а)2-9≥09-(х+а)2, если (х+а)2-9<01 случай.
(x+а)2-9≥02|х|-4=0|х|=2х=±2. Для того, чтобы найденные значения x являлись решениями уравнения (*) должны выполняться условия:
если х=2, (2+а)2-9≥0 (2+а)2≥9 |а+2|≥3а+2≥3а+2≤3а≥1а≤-5 при а∈(-∞;-5∪1;+∞).
если х=-2,(а-2)2-9≥0 (а-2)2≥9 |а-2|≥3(а-2)≥3,а-2≤3;а≥5,а≤-1;(-∞;-1∪5;+∞).
2 случай.(x+а)2-9<0;то уравнение (*) будет иметь вид:
9-(x+a)2-(x+a)2+9=4-2x(x+а)2=|х|+7;

-318135-24638000 у=|х|+7
у=(x+а)2
у=(x+а)2 у=(x+а)2
т.к. должно выполняться условие (x+а)2<9,то для существования корней должно быть и |х|+7<9,т.е. парабола y=(x-a)2 должна пересечь «угол»-y=x+7 при -2≤х≤2. Это возможно только при а∈-5;-1∪1;5, причем решение при этих значениях a будет одно. При a=-1и a=5 получим x=-2; при a=-5иa=1получим x=2; при а∈(-5;-1)∪(1;5) решением будет некоторое число x∈(-2;2).
Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем
при а∈(-1;1)-уравнение не имеет корней;
при а=-1 и а=1-уравнение имеет одно корень;
при а∈(-∞;-1)∪(1;+∞)-два корня;
Проиллюстрирую полученные выводы графически.
1.Пусть а∈(-1;1), например, a=0, уравнение (*) примет вид
x2-9-(x2-9)=4-2x.
y=|x2-9|-(x2-9)
24765-54991000

y=-2|x|+4
Рисунок наглядно показывает, что при а∈(-1;1) корней нет.
347980285750002.Пусть а=-1, уравнение принимает вид (x-1)2-9-((x-1)2-9)=4-2x y=│(x+1)2│-((x+1)2-9)
y=-2│x│+4
Уравнение имеет один корень x=-2.
3.Пусть а∈(-∞;-1),например, a=-2, получим уравнение
(x-2)2-9-((x-2)2-9)=4-2x42481513843000
y=│(x-2)2│-((x-2)2-9)
y=-2│x│+4
Уравнение имеет два корня: x1=-2, x2∈(-2;2)
Пусть а∈(1;+∞),например, a=5,получим уравнение
(x+5)2-9-((x+5)2-9)=4-2x-8001027876600
y=│(x+5)2│-((x+5)2-9)
y=-2│x│+4
Из рисунка видно, уравнение имеет два корня:x1=-2,x2=2
Ответ: при а∈(-∞;-1)∪(1;+∞)-уравнение имеет два корня.
Пример 5. При каких значениях параметра а отрезок [-1;3] целиком находится между корнями квадратного уравнения ?
-61595100457000Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен Графиком является парабола. Геометрическая модель данной задачи представлена на рисунке.


х1 -1 0 3 x2 x
у(-1)
у(3)

При этих условиях D>0, так как ветви параболы направлены вверх.

Ответ: а .
Пример 6. При x∈-3;-1 x4-7x2-3 не равно ax2. Найти а.
Решим двумя способами.
Решение.
Способ 1:
x4-7x2-3≠ax2, x∈[-3;-1)x4-7x2-ax2-3≠0x4-3-7x2+ax2≠0x4-x27+a-3=0Пусть x2=b, тогда fb=b2-b7+a-3=0, b∈1;9Корни имеют разные знаки, так как b1b2=-3Уравнение имеет корень, если b2∈1;9
f1<0,f9≥0;a>-9,a≤53; условие, когда b2-b7+a-3=ab, при b∈1;9Ответ: a∈-∞;-9∪53;∞.
Способ 2:
x4-7x2-3=ax2Пусть x2=t, тогда a=t2-7t-3t , ft=aft=t-7t-3tf't=1+3t2>0 функция возрастает, значит ft=a если имеет корень t∈(1;9], то он единственныйf1=-9,f9=53При a∈-9;53 ft=a имеет решения, значит при a∈-∞;-9∪53;∞ ft=a Не имеет корней.
Ответ: a∈-∞;-9∪53;∞.
.

Литература
Родионов Е.М. Справочник для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами.
Мордкович А.Г. «Алгебра 9 класс».
Семёнов А.В, Ященко И.В. ГИА – 2013; ГИА - 2014 «Математика».
Кузнецова Л.В. «Алгебра 9 класс» сборник заданий.
Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ГИА – 2013
Макарычев Ю.Н. «Алгебра, учебник для 9 класса с углубленным изучением математики».