Практические работы по математике для студентов 1 курса

Практическая работа №12
Тема: "Исследование графиков функций с помощью производной".
Цель работы: закрепить знания и совершенствовать умения по нахождению монотонности функции, экстремумов функции, наименьшего и наибольшего значение функции, точки перегиба и выпуклость функции и построение графиков функций с помощью производной.
Ход работы:
1. Ответить на контрольные вопросы:
1). Определение производной функции
2). Определение монотонности функции
3). Определение экстремума функции
2. Выполнить контрольное задание.
Образец выполнения заданий.
1. Найти монотонность функции f(x)=x3-3x21. ООФ x∈R2. f'x=x3-3x2'=3x2-3∙2x=3x2-6x3. f'x=0 3x2-6x=0 3xx-2=0 3x=0 x-2=0 x=0 x=2 - стационарные точки
766445247650
4. f'x 0 2 f(x)
5. Ответ: при x<0 и x>2 - функция
при 0<x<2 - функция
2. Найти точки экстремума функции f(x)=x4-4x3 1. ООФ x∈R2. f'x=x4-4x3'=4x3-4∙3x2=4x3-12x23. f'x=0 4x3-12x2=0 4x2x-3=0 4x2=0 x-3=0 x=0 x=3 - стационарные точки
766445247650
4. f'x 0 3 f(x)
5. Ответ: x=0-т. max
x=3-т. min
3. Построить график функции f(x)=x3-2x2+x 1. ООФ x∈R2. f'x=x3-2x2+x'=3x2-2∙2x+1=3x2-4x+13. f'x=0 3x2-4x+1=0 x1,2=-(-4)±42-4∙3∙12∙3=4±26 x=1 x=13 - стационарные точки
766445247650
4. f'x 13 1 f(x)
x=13-т. max
x=1-т. min5. ymax=y13=133-2∙132+13=427 ymin=y1=13-2∙12+1=0 6. C осью Оx (y=0): x3-2x2+x=0 xx2-2x+1=0 x=0 x2-2x+1=0 x1,2=-(-2)±22-4∙1∙12∙1=2±02x=0 x=1-точки пересечения С осью Oy x=0: y=03-2∙02+0=0 - точки пересечения
1120775-381007.

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x4-8x2+5 на отрезке -3;2 1. ООФ x∈R2. f'x=x4-8x2+5 '=4x3-8∙2x+0=4x3-16x3. f'x=0 4x3-16x=04xx2-4=04x=0 x2-4=0 x=0 x=±2 x=0, x=±2 ∈ -3;2 4. f0=04-8∙02+5=5 f-2=(-2)4-8∙(-2)2+5=-11-наименьшее f2=24-8∙22+5=-11 -наименьшее f-3=(-3)4-8∙(-3)2+5=14-наибольшее 5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба f(x)=x4-2x3 1. ООФ x∈R2. f'x=x4-2x3 '=4x3-2∙3x2=4x3-6x23. f''x= 4x3-6x2'=4∙3x2-6∙2x=12x2-12x 4. f''x=0 12x2-12x=0 12xx-1=0 12x=0 x-1=0979170307340 x=0 x=1 5. f''x
0 1
6. Ответ: при x<0 и x>1-выпукла вниз, т.к. f''x>0 при 0<x<1-выпукла вверх, т.к. f''x<0 точки x=0 и x=1-являются точками перегиба, т.к.функция меняет знакиI вариант
II вариант
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции (монотонность):
у=6х-2х3
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции (монотонность):
у=х3-4х2
2. Найти точки экстремума:
у=х3+3х2. Найти точки экстремума:
у=х4+4х3. Построить график функции:
у=х2-2х
3. Построить график функции:
у=х3-3х
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
у=х4-2х2+3 на[-4;3]
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
у=х4-8х2+5 на[-3;2]
5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба:
у=3х2-2х3
5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба:
у=4х3+6х2
III вариант IV вариант
1. Найти интервалы возрастания и убывания функции (монотонность):
у=х3+2x 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции (монотонность):
у=-х5-1
2. Найти точки экстремума:
у=7+12x-х3 2. Найти точки экстремума:
у=3х3+2х2-7
3. Построить график функции:
у=3x-х3
3. Построить график функции:
у=х3+3х2
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
у=х2-8х+19 на[-1;5]
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:
у=х2+4х-3 на[0;2]
5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба:
у=х5-5х5. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба:
у=5х3-3х