Презентация по теме треугольники для итогового повторения в 9 классе

Треугольник – это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Математики называют его двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. ТРЕУГОЛЬНИКИ (элементы, площади) Учитель математики МАОУ СОШ № 22 г. Тамбова Склярова Светлана Александровна РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.Равные стороны называются боковыми сторонами (АВ = ВС), а третья сторона – основанием (АС).СвойстваУглы при основании равны ( ےА = ےС).Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают (ВД). В А С Д ПризнакиТреугольник равнобедренный, еслидва угла медиана является высота является медиана равны высотой биссектрисой является биссектрисой проверь себя РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (правильным).СвойстваВсе углы равны ( ےА = ےВ = ےС).Каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, проведёнными из той же вершины (ВД).Центры вписанной и описанной окружностей совпадают. В А С Д О r R а ОД = r = = ОВ = R = = R = 2r h = S = = = R = r = СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ Сумма углов треугольника равна а b с β γ 1800 α α +β + γ = 1800 Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол а > b ↔ α > β Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности │а – b │< c < a + b α β δ Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним δ = α + β проверь себя проверь себя ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ I признак ) ) По двум сторонам и углу между ними II признак III признак ) ) ) ) ) ) По одной сторонеи двум прилежащим к ней углам По трём сторонам ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ А В М N С P ΔАВС ∞ ΔMNP 1. ےА = ےМ ے В = ےN 2. ےA = ےM 3. МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. а b с а b с БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: а b с ( ( Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности. проверь себя ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой , содержащей противолежащую сторону треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. а b с Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине:MN ║AC , MN = AC.Она отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия В А С M N ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а величины противолежащих им углов а b с β γ α α, , β, γ, справедливы две теоремы.Теорема косинусов: Теорема синусов: где R - радиус описанной окружности ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА Для произвольного треугольника, длины сторон которого обозначены a, b, c, а высота а b с В С А площади вычисляются по формулам:S = S = β S = S = , где r – радиус вписанной окружности , где S = , где R – радиус описанной окружности (формула Герона) p = ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ а b О r c В любой треугольник можно вписать окружность.Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. , где S площадь треугольника, а p = L L A B C M L N p-a p-a p-b p-c p-b p-c ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Около любого треугольника можно описать окружность.Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. а b с , где S площадь треугольника О R