Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

ГБОУ Краснодарский краевой базовый медицинский колледжМинистерства здравоохранения РФКомплексные числаавтор Высоцкая В.М. Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа Решение квадратных уравнений А ХІ+ В Х+ С =0При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + Комплексные числа Вид комплексного числа ХІ = -1Х= i -корень уравненияi- комплексное число, такое , чтоiІ = -1 Z=А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ А и В – действительные числаА – действительная частьВ – мнимая частьi – мнимая единица А + В· i Геометрическая интерпретация комплексного числа Модуль комплексного числа Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i Комплексно сопряженные числа. lZl = l A + Bi l = Тригонометрическая форма комплексного числа |Z| = rφ- аргумент аргумент комплексного числаZ = r (cos φ+ i sin φ)Для Z=0 аргумент не определяется Т.к Z = r = Z= А + В· I = cosφ + i sinφ Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическаяформа Геометрическая форма Сумма(A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)] Произведение (A+iB) · (C+iD)=(AC-BD)+(AD+BC)i Если Z 1= Z2, то получимZІ=[r (cos φ+ i sin φ)]І= rІ (cos2 φ+ i sin 2φ)Zі= ZІ·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]І·r (cos φ+ i sin φ)= rі (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравненияявляется корнем степени n из числа ω. Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ) Вторая формула МуавраВторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней. Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Свойства сложения и умножения Переместительное свойство:Сочетательное свойство:Распределительные свойство: Z1 + Z2 = Z1 +Z2 (Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3) Геометрическое изображение суммы комплексных чисел Вычитание и деление комплексных чисел Z+ Z2 = Z1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 ) Z= Z1 - Z2 –разность Разделив обе части на Z2 получим: Деление – операция, обратная умножению: Геометрическое изображение разности комплексных чисел Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел