Презентация по математике Подготовка к ЕГЭ-2015. Задача №8. Профильный уровень

Подготовка К ЕГЭ - 2015Задача №8Профильный уровеньУчитель математики ГБОУ гимназия №1 города Похвистнево Самарской области Антонова Галина Васильевна №1yx∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥 и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.  -7-3017В точках х = -7 и х = -3 𝑡𝑔𝛼>0, в точке х = 1 𝑡𝑔𝛼=0.В точке х = 7 𝑡𝑔𝛼<0, ⇒ в этой точке значение производной наименьшее. Ответ: 7Решение: Т.к. значение производной функции в точке равно 𝑡𝑔𝛼 – угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке, проведём эти касательные. 2𝑦=𝑓𝑥 













3•••yx•0-5-337На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥 и отмечены точки -5, -3, 3, 7. В какой из этих точек значение производной наибольшее?В ответе укажите эту точку Решение: Т.к. значение производной функции в точке равно 𝑡𝑔𝛼 – угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке, проведём эти касательные. Но касательная n и положительное направление оси Ох образуют больший угол, чем касательная m, ⇒ в точке х=3 значение производнойнаибольшее. mnВ точках х = −3 и х = 7 𝑡𝑔𝛼<0, в точках х = −5 и х=3 𝑡𝑔𝛼>0. Ответ: 3𝑦=𝑓𝑥 №2






На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥. Найдите среди точек х1, х2, х3, х4, х5 и х6 те точки, в которых производная функции 𝑓𝑥 отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек. ••••••х1 х2 х3 х4 х5 х6 yx𝑦=𝑓𝑥 Решение: Производная функции в точке отрицательна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой убывания данной функции. Этому условию на рисунке удовлетворяют точки x2 и x4. Следовательно, количество найденных точек равно 2. Ответ: 24№3


5••••••х1 х2 х3 х4 х5 х6 yxх8 х7 х9 х10 ••••0На рисунке изображены график функции 𝑦=𝑓𝑥 и десять точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, …,х10. В скольких из этих точек производная 𝑓′𝑥 функции 𝑓𝑥 положительна. Решение: Производная функции в точке положительна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой возрастания данной функции. Этому условию на рисунке удовлетворяют точки x1,x4 и х6. Следовательно, количество найденных точек равно 3. Ответ: 3𝑦=𝑓𝑥 №4


6Решение: Производная функции в точке отрицательна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой убывания данной функции. Этому условию на рисунке удовлетворяют точки x2,x4, x5 и x6. Следовательно, количество найденных точек равно 4. На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥. Найдите среди точек х1, х2, х3, х4, х5 и х6 те точки, в которых производная функции 𝑓𝑥 отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек. Ответ: 4.y0х𝟏 х𝟐 х𝟑 х𝟒 х𝟓 х𝟔 x••••••𝑦=𝑓𝑥 №5
7 yx01-113На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение: Производная функции в точке положительна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой возрастания данной функции. Этому условию на рисунке удовлетворяют точки абсциссы которых равны 2, 3, 4, 10, 11 .  Ответ: 5𝑦=𝑓𝑥 №6•2341011Следовательно, количество найденных точек равно 5.






Этому условию на рисунке удовлетворяют точки x2 и x4. Следовательно, количество найденных точек равно 2. 8yНа рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥. Найдите среди точек х1, х2, х3, х4, х5 и х6 те точки, в которых производная функции 𝑓𝑥 отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек. Решение: Производная функции в точке отрицательна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой убывания данной функции. x0••••••𝑦=𝑓𝑥 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 Ответ: 2.№7


9yx𝑦=𝑓𝑥 0•••••••На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;13). Определите количество точек, в которых производная функции положительна. Ответ: 2.𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 𝒙𝟔 𝒙𝟕 Решение: Производная функции в точке положительна тогда и только тогда, когда эта точка является точкой возрастания данной функции. Этому условию на рисунке удовлетворяют точки x3 и х6. Следовательно, количество найденных точек равно 2. №8
style.colorfillcolorstroke.colorfill.typestyle.colorfillcolorstroke.colorfill.type
yx1-1•••1028mНа рисунке изображены график функции 𝑦=𝑓𝑥 и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓𝑥 в точке 𝑥0.  0𝑥0 Решение: значение производной функции 𝑦=𝑓𝑥 в точке 𝑥0-это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке. Угловой коэффициент касательной k = tg𝛼 = 28 = 0,25. 𝛼 𝛼 Ответ: 0,25𝑦=𝑓𝑥 №9





11yx1-1•••𝑥0 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0. Решение: значение производной функции 𝑦=𝑓𝑥 в точке 𝑥0-это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке. Угловой коэффициент касательной k = −tg𝛼 = −36 = − 0,5, т.к. касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол. Ответ: − 0,5 𝑦=𝑓𝑥 0№10


𝜶 12yx𝒙𝟎 01-1На рисунке изображены график функции 𝑦=𝑓𝑥 и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓𝑥 в точке 𝑥0.  Решение: значение производной функции 𝑦=𝑓𝑥 в точке 𝑥0-это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке. Угловой коэффициент касательной k = tg𝛼 = 810 =  0,8, т.к. касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол. 810Ответ:  0,8. x𝑦=𝑓𝑥 ••№11



130𝒙𝟎 x1-1yНа рисунке изображены график функции 𝑦=𝑓𝑥 и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0. Найдите значение производной функции 𝑓𝑥 в точке 𝑥0.  Решение: значение производной функции 𝑦=𝑓𝑥 в точке 𝑥0-это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке. Угловой коэффициент касательной k = − tg𝛼 = − 48 =−0,5, т.к. касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол. 𝜶 48Ответ: − 0,5. 𝑦=𝑓𝑥 ••№12



14yx011𝑦=𝑓′𝑥 На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале −6;10. Найдите количество точек, в которых касательная к ° ° графику функции f(x) параллельна прямой 𝑦=2𝑥+5 или совпадает с ней.  Решение: Если касательная к графику функции параллельна прямой 𝑦=2𝑥+5 или совпадает с ней, то её угловой коэффициент равен 2, ⇒ нужно найти количество точек, в которых 𝑓′𝑥=2.  ••••Определяем, что таких точек будет 4.Ответ: 4.№13



15yx011На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −5;5. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑓𝑥 параллельна прямой 𝑦=3𝑥−8 или совпадает с ней. Решение: Если касательная к графику функции параллельна прямой 𝑦=3𝑥−8 или совпадает с ней, то её угловой коэффициент равен 3, ⇒, нужно найти количество точек, в которых 𝑓′𝑥=3.  ° ° ••𝑦=𝑓′𝑥 Определяем, что таких точек будет 2.Ответ: 2.№14𝒇′𝒙=3 



16° ° yx𝑦=𝑓′𝑥 011-66На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −6;6. В какой точке отрезка −3;3 𝑓𝑥 принимает наименьшее значение? Решение: По чертежу замечаем, что на промежутке −3;2 производная функции 𝑓𝑥 отрицательна, ⇒, сама функция убывает. На промежутке 2;3 производная положительна,⇒, сама функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается в точке 𝑥=2. Ответ: 2.𝒚=𝒇𝒙 ••№15


Значит, наибольшее значение функцией достигается в правом конце отрезка, т. е. в точке 𝑥=−1.  17yx110-55° ° 𝑦=𝑓′𝑥 На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −5;5. В какой точке отрезка −4;−1 𝑓𝑥 принимает наибольшее значение? Решение: По чертежу замечаем, что на всём промежутке −4;−1 производная функции 𝑓𝑥 положительна, ⇒, сама функция возрастает.  Ответ: -1.𝒚=𝒇𝒙 ••№16



1817а) Прямая   𝑦=6𝑥+9 параллельна касательной к графику функции 𝑦=𝑥2+7𝑥−6. Найдите абсциссу точки касания  Решение: Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, которая параллельна прямой𝑦=6𝑥+9, т.е. 𝑦′=6 ⇒ 2𝑥+7=6, 𝑥=−0,5.  Ответ: − 0,5. 17б) Прямая   𝑦=−4𝑥−8 является касательной к графику функции 𝑦=𝑥3−3𝑥2−𝑥−9. Найдите абсциссу точки касания  Решение: Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, т.е. 𝑦′=−4 ⇒ 3𝑥2−6𝑥−1=−4⇔  3𝑥2−6𝑥+3=0 ⇔ 𝑥−12=0, 𝑥=1.  Ответ: 𝟏. №17

Вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной :1) 𝑦2=23−4∙22+9∙2+14=24 и 5∙2+14=24 ⇒ 𝑥=2 удовлетворяет, 2) 𝑦23=233−4∙232+9∙23+14=82427 , но 82427≠5∙23+14⇒ 𝑥=23 не удовлетворяет. Т.е. искомая абсцисса точки касания =2. 1917в) Прямая   𝑦=5𝑥+14 является касательной к графику функции 𝑦=𝑥3−4𝑥2+9𝑥+14. Найдите абсциссу точки касания  Решение: Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, т.е. 𝑦′=5 ⇒3𝑥2−8𝑥+9=5,    3𝑥2−8𝑥+4=0, т.е. 𝑥=2; 23.  Ответ: 2.№17

20xy011-77° ° На рисунке изображён график функции y=𝑓𝑥 , определённой на интервале −7;7. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=13. Решение: Прямая y=13 параллельна оси абсцисс, ⇒, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже параллельна оси Ох. По графику определяем количество точек, в которых касательные параллельны оси Ох.  ••••••••Количество таких точек равно 8.Ответ: 8.𝑦=𝑓𝑥 №18









21y011-74° ° 𝑦=𝑓𝑥 xНа рисунке изображён график функции y=𝑓𝑥 , определённой на интервале −7;4. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=−17. Решение: Прямая y=−17 − горизонтальная, ⇒, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Определим по рисунку количество точек с горизонтальной касательной. Количество таких точек равно 6.••••••① ②③④⑤ ⑥Ответ: 6.№19







① ②22yx011На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −2;15. Найдите количество точек минимума функции 𝑓𝑥 на отрезке 0;12.  15𝑦=𝑓′𝑥 Решение: Точка 𝑥0 - точка минимума функции, либо если 𝑓′𝑥0=0  и в этой точке происходит смена знака производной с «-» на «+», либо в том случае, когда производная функции в этой точке не существует. По рисунку определяем, что таких точек, принадлежащих отрезку 0;12, две: 3; 10. Ответ: 2.••° ° 𝒚=𝒇𝒙 №20



23yx011-215° ° 𝑦=𝑓′𝑥 На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −2;15. Найдите количество точек экстремума функции 𝑓𝑥 на отрезке 3;13.  Решение: Точка 𝑥0 - точка экстремума функции, либо если 𝑓′𝑥0=0 , либо в том случае, когда производная функции в этой точке не существует. По рисунку определяем, что таких точек, принадлежащих отрезку 3;13, три: 4; 6; 12. Ответ: 3.•••① ②③№21



24yx011-118° ° 𝑦=𝑓′𝑥 На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −11;8. Найдите количество точек максимума функции 𝑓𝑥 на отрезке −8;7.  Решение: Точка 𝑥0 - точка максимума функции, либо если 𝑓′𝑥0=0 и в этой точке происходит смена знака производной с «+» на «−», либо в случае, когда производная функции в этой точке не существует. По рисунку определяем, что таких точек, принадлежащих отрезку −8;7, две: -3; 2. Ответ: 2.②① ••№22


25yx011𝑦=𝑓′𝑥 ° ° На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −3;11. Найдите промежутки убывания функции 𝑓𝑥. В ответе укажите длину наибольшего из них. -311На рисунке это промежутки: −2;2, 8;10. Оба промежутка имеют длину, равную 4, так как 2−−2=10−6=4.  Ответ: 4.Решение: На всём промежутке убывания функции 𝑓𝑥 её производная неположительна. №23


26yx011На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −6;9. Найдите промежутки возрастания функции 𝑓𝑥. В ответе укажите длину наибольшего из них. -69𝑦=𝑓′𝑥 Решение: На всём промежутке возрастания функции 𝑓𝑥 её производная неотрицательна. На рисунке это промежутки: −5;−1, 2;8.  Наибольшую длину из них имеет промежуток 2;8, длина которой равна 6, т.к. 8−2=6. Ответ: 6.° ° №24


27yx011На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −7;7. Найдите промежутки убывания функции 𝑓𝑥. В ответе укажите длину наибольшего из них. 7-7° ° Решение: На всём промежутке убывания функции 𝑓𝑥 её производная неположительна. На рисунке это промежутки: −6;−3, 2;6. Наибольшую длину из них имеет промежуток 2;6, так как 6−2=4.  𝑦=𝑓′𝑥 Ответ: 4.№25


28yx01На рисунке изображён график производной функции𝑓𝑥, определённой на интервале −11;3. Найдите промежутки возрастания функции 𝑓𝑥. В ответе укажите длину наибольшего из них. -113𝑦=𝑓′𝑥 Решение: На всём промежутке возрастания функции 𝑓𝑥 её производная неотрицательна. На рисунке это промежутки: −11;−10,−6;−1, 2;3.  Наибольшую длину из них имеет промежуток−6;−1, длина которой равна 5, т.к. −1−(−6)=5. Ответ: 5.° ° №26𝑓′(𝑥)>0 - 6 - 1




290х𝟎 x•𝑦=𝑓𝑥 𝑦=12𝑥+5,5 На рисунке изображен график функции 𝑦=𝑓𝑥 и касательная к этому графику, проведённая в точке х𝟎. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 𝑦=4𝑓𝑥+7 в точке х𝟎.  Решение: 𝑦′(𝑥)=4𝑓𝑥+7′=4∙𝑓′𝑥; в точке х𝟎 значение производной функции равно угловому коэффициенту касательной к графику функции: 𝑓′(𝑥0) = 12, ⇒ 𝑦′𝑥0=4∙𝑓′𝑥0=4∙12=2.  Ответ: 2.№27
30y0х𝟏 х𝟐 х𝟑 х𝟒 х𝟓 х𝟔 x•••••𝑦=𝑓𝑥 ° ° ••х𝟕 -56Функция 𝑦=𝑓𝑥 определена на интервале −5;6. На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓𝑥. Найдите среди точек х𝟏, х𝟐, х𝟑, х𝟒, х𝟓, х𝟔, х𝟕 те точки, в которых производная функции равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек. Решение: Производная функции в некоторой точке равна нулю тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведённая в этой точке, горизонтальна. Этому условию удовлетворяют точки х𝟏, х𝟑, х𝟔 и х𝟕, ⇒ количество найденных точек равно 4. Ответ: 4.В точке 𝒙𝟒 производная не существует №28



31St10••Материальная точка М начинает движение из точки А и движется на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат – расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).Решение: После начала движения, примерно через 1 с, график достиг верхней точки на этом участке, затем график уходит вниз, ⇒ точка остановилась и стала двигаться назад. Значит каждая вершина и впадина графика означает перемену направления движения точки М, т.е. в этих точках скорость равна 0. Всего на графике 11вершин и впадин, не считая начала и конца движения. Ответ: 11.№29



32Использованная литератураЕ33 ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания /И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 55, 𝟏с.Е33 ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания /И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 95, 𝟏с.С30 ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л.Семёнов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен»,2014. – 527, 𝟏с.