Презентация по ТОНКМ с методикой обучения на тему Математические предложения
Математические предложенияПланВысказывания и высказывательные формы.Значение истинности высказываний и высказывательных форм.Простые и составные высказывания и высказывательные формы.Логическая структура составного предложения.Конъюнкция и дизъюнкция высказыванийТаблица истинности высказываний.Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.Высказывания с кванторами.Квантор общности и значение истинности.Квантор существования и значение истинности.Отрицание высказываний и высказывательных форм.Отношения следования и равносильности.Структура и виды теорем.Теорема, правила, формулыВиды теорем.Закон контрпозицииОсновные выводы
Рассмотрим некоторые предложения«1 + 9 = 20 – 10. Это равенство»37 + 6 3720 + 8 20«некоторые числа делятся на 5»5 + x = 9Определим истинны ли они или ложныеПредложения 1,2,4 – истинные Предложение 3 – ложноеПредложение 5 – нельзя указать истинное оно или ложноевысказыванияВысказывательная форма
Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.Высказывательная форма – предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной. Высказывательная формаа + в = содноместная в.ф.а+ 3 =5двухместная в.ф.а + в = 5
Обозначения: А – «И» - высказывание А – истинноВ – «Л» - высказывание В – ложно«И», «Л» - значения истинности высказыванияМножество истинности высказывательной формы – это значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.Пример: определить множество истинности высказывательной формы x 6, если а) x N б) x Z в) x RМножество истинности – {1,2,3,4,5}Множество истинности – {0,1,2,3,4,5}Множество истинности – {- ; 6}
Выше рассмотренные предложения – простые или элементарные предложения.Из двух простых предложений можно составить новые предложения с помощью союзов «и», «или»…Логическая связка – «и», «или», «если,…то», «не», «тогда и только тогда, когда».Составные предложения – это предложения, образованные из элементарных с помощью логических связок.
Для определения логической структуры составного предложения необходимо установить:Из каких элементарных предложений оно образовано;С помощью, каких логических связок оно образовано.Пример: 1) x ≥7 – это составная высказывательная форма.Логическая структура: «А или В»Элементарные высказывательные формы – А – «x 7»В - «x = 7»Логическая связка – «или»
2) «если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны» - это составное высказывание.Логическая структура: «Если А, то В»Элементарные предложения: А – «треугольник равнобедренный»В – «углы при основании равны»Логические связки: «Если ……, то».
«Число 25 четное и делится на 5»Логическая структура – «А и В»Элементарные высказывательные формы – А – «25 – четное число»В – «25 – делится на 5»Логическая связка – « и »Проблема: «Как определить значение истинности составных предложений?»Составное высказывание вида «А и В» называют конъюнкцией (лат. «соединение»), обозначают А В.
Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно.Пример: А – «Л» А В – «Л» (по определению)В – «И»Составные высказывания вида «А или В» называют дизъюнкцией (лат. «разделение»), обозначают АВ.
Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.Пример: «Число 25 делится на 5 или на 3».А – «25 делится на 5»В – «25 делится на 3»Логическая связка – илиЛогическая структура - АВА – «И» – АВ «И» (по определению)В – «Л»
Составим таблицу истинности конъюнкции и дизъюнкции{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}АВА ВАВИИИИИЛЛИЛИЛИЛЛЛЛ
Конъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:А(х) В(х)Высказывательная форма А(х) В(х) обращается в истинное высказывание, если обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х) при значениях х из области определения Х.Пример: х + 3 13 А(х) – х+313 3х 15 В(х) – 3х 15Логическая структура А(х) В(х)х 10х 5 510Ответ: А(х) В(х) – «И» при х (5;10).
Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:А(х) В(х)Высказывательная форма А(х)В(х) обращается в истинное высказывание, при тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм. Пример: (х + 7) (х - 4) = 0Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.А(х) – х + 7=0В(х) – х – 4 =0Логическая структура: А(х) В(х) х +7=0 или х – 4 =0х = - 7 х=4Ответ. А(х) В(х) - И при х (-7;4).
Квантор существования – это выражения «существует», «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».Обозначение: х – «существует х»( х) Ах – «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание».Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера, а ложность - доказывается.
Пример: «Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними».Высказывание содержит квантор существования – «некоторые» и оно – «Л». Это необходимо доказать.В равностороннем треугольнике все углы по 60, а в прямоугольном один из углов - 90. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.
Квантор общности – это выражения «всякий», «любой», «каждый» и «все».Обозначение: х – для всякого х.(х) А(х) – «для всякого х предложения А(х) – истинное высказывание».Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства, а ложность – контрпример. Пример: «Всякое натуральное число делится на 2 » высказывание содержит квантор общности – «всякое и оно – Л, т.к. «3 не делится на 2» - контрпример.
В математике часто приходится строить предложения в которых что – либо отрицается.Пример: «15 – простое число» А – ЛПостроим отрицание высказывания: «неверно, что 15 простое число» - ИОбозначение: Ā Читают: «Не А» или «Неверно, что А».
Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А- ложно.{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}АĀИЛЛИ
Отрицании конъюнкции и дизъюнкцииЗаконы де МорганаЧтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие её высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»). Пример: «Число 15 – нечетное и делится на 5». Построить отрицание высказывания.РешениеА В – И𝐴∧𝐵 ⟺ 𝐴∨𝐵 𝐴∨𝐵⟺𝐴∧𝐵
способ. А В - «Неверно, что 15 – нечетное число и делится на 5». А В – Л оно является отрицанием высказывания А.способ. Воспользуемся законом де Моргана𝑨∨𝑩⟺𝑨∧𝑩«Число 15 – четное или не делится на 5» - Л
Отрицание высказываний с кванторамиОтрицание высказывания с квантором можно построить двумя способами:перед высказыванием ставится слова «неверно что»;квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора заменяется его отрицанием.
Пример: Построить отрицание высказываний А–«Всякий многоугольник является четырехугольником» - Л – высказывание с квантором общности.способ. Ā – «Неверно, что всякий многоугольник является четырехугольником» - ИА – Л Ā построено верно Ā – Испособ. Ā - «Некоторые многоугольники не являются четырехугольниками» - ИА – Л Ā построено верноĀ – И
А – «Некоторые свойства квадрата присущие прямоугольнику» - И – высказывание с квантором существования.способ. Ā - «Неверно, что некоторые свойства квадрата присущи прямоугольнику».А – И Ā построен верно Ā – Лспособ. Ā - «Всякое свойство квадрата не присуще прямоугольнику» - ЛА – ИĀ– Л
Отношения следования и равносильностиРассмотрим высказывательные формы:А(х) – «х 5»В (х) – «х 2» Как связаны между собой?Можно утверждать: «Все числа больше пяти больше двух» или«из того, что х 5 следует, что х 2 ».
Определение. Высказывательная форма В (х) следует из высказывательной S формы А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна. Обозначение: А(х)В(х)Читают: Из А(х) следует В;Всякое А(х) есть В(х);Если А (х), то В(х);В(х)есть следствие А(х);А(х) – достаточное условие для В (х)В(х) – необходимое условие для А(х)Как установить истинность предложения А(х)В(х)?Его можно сформулировать в виде:«Всякое А(х) есть В(х)»
Имеет место высказывание с квантором общности, значит истинность устанавливается путем доказательства, а ложность – контрпример.Рассмотрим высказывания:А(х) – «треугольник равнобедренный»В(х) – «Углы при основании треугольника равны »А(х) В (х) – И«Если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный» - ИГоворят: предложения А(х) и В(х) – равносильны.
Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложения В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).Обозначение: А(х)В(х)Читают:А(х) равносильно В(х)А(х) тогда и только тогда, когда В(х)А(х) – необходимое и достаточное условие В(х)В(х) – необходимое и достаточное условие А(х)
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается путем доказательства.Логическая структура теоремы:АВ, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными.Предложение А – условие теоремы;В – заключение.Теорема. Если а – любое число и n, k – натуральные числа, то справедливо равенство а𝒏 ∗ 𝒂𝒌 = 𝒂𝒏+𝒌
Для удобства использования теоремой её формулируют в виде правила.Правило. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основания оставляют прежним. А показатели степеней складывают.а𝒏 ∗𝒂𝒌 = 𝒂𝒏+𝒌Пусть дана теорема:
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}ТеоремаАВ«Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны» - ИОбратная теоремаВА«Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». - ИПротивоположенная теорема𝑨 𝑩«Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны».Обратная противоположной теорема𝑩 𝑨«Если в четырехугольнике диагонали не перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом».{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}ТеоремаАВ«Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны» - ИОбратная теоремаВА«Если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». - ИПротивоположенная теорема«Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны».Обратная противоположной теорема«Если в четырехугольнике диагонали не перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом».
(АВ) (𝑩 𝑨)Закон контрапозициит.е. всегда когда истинна данная теорема, будет истинна и теорема обратная противоположенной.
Вопросы для самоконтроляСформулируйте разницу между высказыванием и высказывательной формой.Как определить логическую структуру составного предложения?Сформулируйте различие между конъюнкцией и дизъюнкцией.Как определяется истинность конъюнкции и дизъюнкции высказываний и высказывательных форм?Сформулируйте правила определения истинности высказываний с кванторами.Где используется закон де Моргана?Каким образом можно построить отрицание высказываний с кванторами?В каких случаях используют отношение логического следования и равносильности между предложениями?В чем отличие теоремы от правила?Какова логическая структура различных видов теорем?Каким законом связаны различные виды теорем?
Задания для практической работыСтойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений «Академия», 1998.§3, п.16 № 4,5,6,8п.17 № 1,2,3,5,п. 18 № 3,4п. 20 № 5,6,7,9,10п. 21 № 2,3,4,8п.22№ 2,5,9,12п.23 №2,5,6