Презентация на тему Решение текстовых задач на сплавы,смеси и на проценты

МБУ «Школа №70» Подготовка к ЕГЭ.Решение текстовых задач на сплавы и смеси, на проценты. Айзятова М.М. Учитель математики Содержание: ВведениеГлава I. Алгоритм решения текстовых задач на сплавы и смеси,на процентыРешение задач на сплавы и смеси:1.на части2. использование модели прямоугольника3.аналитическая модель4.приравнивание площадей равновеликих прямоугольников5.арифметический способ 6.старинный способ решения задач на смешивание двух веществ7. способ Л.Ф. Магницкого для трех веществ8. использование диагональной схемы9. правило креста10. использование расчетной формулы11. графический метод12. правило квадратаРешение задач на проценты:1.задачи на сложные проценты2. задачи на простые проценты  Глава II. Практическая часть ЗаключениеСписок литературыПриложение Введение Задачи на смеси и сплавы, на проценты при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной. Цели:Ознакомление учащихся со способами решений текстовых задач на смеси и сплавы, на проценты;Задачи:Дать определение концентрации;Повысить уровень знаний в данной области;Выработать алгоритм решения задач;Предоставить ряд текстовых задач данного типа для самопроверки.       Методы исследования:Изучение научно - популярной, учебной и справочной литературы, КИМов для подготовки экзамена по математике;Сравнение алгоритмов решения задач на сплавы и смеси, на проценты;Визуализация данных;Анкетирование.Гипотеза: задачи на сплавы и смеси, на проценты вызывают у учащихся затруднения, но их решение сводится к определённому алгоритму, который применяется к задачам данного типа.Объект исследования: математика.Предмет исследования: задачи на сплавы и смеси, на проценты.Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения.  Глава 1. Алгоритм решения текстовых задач В условиях задач «на сплавы» и «на смеси» речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. В процессе решения таких задач используется понятие «концентрации вещества», т.е. доли этого вещества в массе или объеме сплава (смеси, раствора).концентрация раствора – отношение массы чистого вещества (твёрдого вещества) к массе всего раствора . Она показывает долю вещества в растворе.Процент - одна сотая любого вещества. Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11? По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение *х + * у = * 1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение * х + * у = * 1 Записываем одну из систем: х + у = 1 х + у = х + у = 1 х + у = Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875Ответ: 125 г и 875 г. Золото: Серебро = 3: 7 Золото: Серебро = 5: 11 Золото: Серебро = 2: 3 Х кг У кг Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? 1. Изобразим сплавы в виде прямоугольников М С М С + = х(г) (200 –х) (г) 200 (г) 0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = 140 2. Обозначим М С М С + = х(г) у(г) 200(г) х + у = 200 0,15х + 0,65у =0,3 *200 х = 140 и у = 60 Ответ: 140г меди и 60г свинца 15% 65% 30% 15% 65% 30% Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение 1: аналитическая модель. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150Решение 2: с использованием графика. Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x) x =150 Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора П (%) 30 15 10 0 x m(г) S1= S2 S1 S2 600 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) 10*х = 25*(140 – х) х = 100 140 – 100 = 40 Ответ: 100 т и 40 т n (%) 40 30 5 0 x m(г) S1= S2 S1 S2 140 Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5% Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Аналитическая модель:Переведем проценты в дроби:6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди. Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08. Решив уравнение, получим х = 12. Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен? Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4. 10 6 1 3 7 Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен 6 5 12 6 1 6 5 8 1 2 6 2/8 1 1/10 Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава. Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему: Получаем: (864 – х) : (х – 600) = 75 : 150 1728 – 2х = х – 600 х = 776.Ответ: сплав 776-й пробы. «Правило креста» I раствор II раствор - - Массовые части I раствора Массовые части II раствора Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы. Задача: В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора. Решение: 0,2 0,1 х Х-0,1 0,2-х 1:3=(х-0,1):(0,2-х);Х=0,125; х=12,5%.Ответ: х=12,5%. Задача: В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора. m1=100гm2=300г с помощью расчетной формулы Ответ: 12,5% Графический метод 0 m1 m1+m2 m2 Масса смеси Массовые доли Массовые доли Функциональная зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости. 0 300 400 20 10 12,5% Графический метод Задача: В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора. Ответ: 12,5% От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления 0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х = , х = 1,2 Ответ: 1,2 кг 1,8+0,3х 2 3 mм(кг) mc(кг) 1,6-0,2х Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально? Обозначим искомую величину за х.Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = процентов.Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: = , х = 22,5 Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни. р 25 75 100 75 - р В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за Х.По правилу квадрата получим: Составим пропорцию: = , х = 4,8Ответ: 4,8 % - жирность молока. 3 6 - х х 6 х - 3 Формула Простых ПРОЦЕНТОВ S =α(1+ t p/m) S - итоговая сумма; α - начальная стоимость кредита; t - срок кредита; p - годовая процентная ставка; m – количество дней в году; Ежемесячный платеж : Sкредит = S /12 t, где Sкредит – сумма гашения кредита, S – размер кредита, t – срок кредитования, Sкредит = const. Формула сложных процентов S = K ∙ (1+P∙d/D/100)ⁿ S – сумма депозита с процентами; K – сумма депозита (капитал); P- годовая процентная ставка; d – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу; D – количество дней в календарном году; n - число периодов начисления процентов; Нельзя сегодня людям без знаний процентов! Задача 1. Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 500 000р.? Решение:Через 5 лет сумма составит: (1 + 20/100)5 · 500 000 = 1 244 160 (р.) Задача 2 За переадресацию вклада банком установленыкомиссионные в размере 0,2% от суммы вклада. Вклад на сумму 100 000 р. был переадресован 3 раза. На сколько уменьшился вклад?Решение: Воспользуемся формулой:Sn = (1 – p/100) n · S, где S = a; Sn = х; n = t.S3 = (1 – 0,2/100)3 · 100 000 = 99 401,19(р.)Значит, уменьшение составило:100 000 – 99 401,19 = 598,81 (р.) Примеры задач «на проценты»: 1) Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?Решение: 10% = 0,1; 20% = 0,2.0,1 · 1000 = 100 (р.) – составило первое снижение1000 – 100 = 900 (р.) – цена товара после первого снижения0,2 · 900 = 180 (р.) – составило второе снижение900 – 180 = 720 (р.) – цена товара после второго сниженияОтвет: 720. 2) Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?Решение: Пусть первоначальная цена товара – х р.Тогда после повышения цены товара на 25% она стала: х + 0,25х = 1,25х (р.)После повышения цены товара на 10% она стала:1,25х + 0,1 · 1,25х = 1,25х + 0,125х = 1,375х (р.)После повышения цены товара на 12% она стала:1,375х + 0,12 · 1,375х = 1,375х + 0,165х = 1,54х (р.)В целом, цена товара была повышена на 1,54х – х = 0,54х, чтосоставило 54% от первоначальной цены.Ответ: 54 3) Найдите первоначальную сумму вклада (в рублях), если после истечения двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых.Решение: Пусть S – первоначальная сумма вклада. Тогдачерез два года она составит :S2 = (1 + 3/100) 2 · SТ.к. S2 > S на 304,5, то уравнение имеет вид:(1 + 3/100) 2 · S = S + 304,5;1,032 · S = S + 304,5;1,0609S – S = 304,5;0,0609S = 304,5;S = 304,5/0,0609;S = 5000Ответ: 5000. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Пусть 4a - стоимость 4-х рубашек b - стоимость куртки4a < на 8%, т.е. составляет 0,92 части от b4a = 0,92b /:4a = 0,23bНайдем процентное отношение стоимости 5 рубашек к стоимости куртки Ответ: 5 рубашек дороже куртки 15% Сухое вещество Влага Виноград Изюм это 19 кг 90% 95% 10% ЗАДАЧА НА ВЫСУШИВАНИЕ. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 50 килограммов изюма? 5% 50 кг изюма 1) 50 · 0,95 = 47,5 (кг) сухого вещества в изюме это 19 кг 47,5 кг сухого в-ва в винограде составляет 10% всего винограда 2) 47,5 · 10 = 475 (кг) винограда надо взять Сколько сухого вещества в 20 кг изюма? Ответ: 475 =0,95 Глава 2. Практическая часть В ходе научного исследования нами было проведено анкетирование учащихся 10х классов МБОУ «Тумакская СОШ», МБОУ «Зеленгинская СОШ». Всего опрошено 26 человек. Всем предлагалось ответить на следующие вопросы: Вызывают ли у Вас затруднения решение задач на сплавы и смеси, на проценты?Знаете ли Вы способы решения данных задач? Цель данного опроса:Узнать степень подготовки учащихся по теме: «Решение текстовых задач на сплавы и смеси, на проценты». Результаты анкетирования: - Все участники опроса испытывают затруднения при рассмотрении решений задач данного типа;- Лишь 12% из 100 ознакомлены со способами решения данных задач. Проанализировав результаты анкетирования, мы пришли к выводу, что большая часть учащихся 10 классов, а именно 88 %, не может решать задачи на сплавы и смеси, на проценты, и поэтому при встрече таких задач на ЕГЭ они могут потерять драгоценные для себя баллы. По этой причине мы провели несколько ознакомительных уроков в 10 классе ресурсного центра по теме: «Решение текстовых задач части В ЕГЭ на сплавы и смеси, на проценты». На данных уроках учащимся были предложены задачи по этой теме, с помощью которых нами были раскрыты основные понятия, встречающиеся в задачах, и представлены основные формулы, необходимые для их решения, был проиллюстрирован общий алгоритм решения, а также наиболее наглядный и удобный способ записи условий таких задач.  Заключение В ходе научного исследования нами были решены следующие цели и задачи:Ознакомили учащихся со способами решений задач; Провели выборочный анкетный опрос среди учащихся МБОУ «Тумакская СОШ», МБОУ «Зеленгинская СОШ»;Рассмотрели определения концентрации, процента ;Выработали следующий алгоритм решения задач на сплавы и смеси, на проценты:- изучить условия задачи. - выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. - используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами. - составить математическую модель задачи и решить ее. - изучить полученное решение, провести критический анализ результата.   Таким образом, данная научная работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к сдаче экзаменов. Список литературы Большая иллюстрированная энциклопедия школьника/ Сост. К. Гисперт – Москва: АСТ.Габриелян О. С. Химия. Базовый уровень. – М.: Дрофа, 2009.Математика: Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – Москва: Экзамен, 2011.Математика: Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – Москва: Национальное образование, 2012Список Интернет ресурсов:  HYPERLINK "http://festival.1september.ru/"http://festival.1september.ru HYPERLINK "http://schoolmathematics.ru/"http://schoolmathematics.ru HYPERLINK "http://uztest.ru/"http://uztest.ruhttp://www.alhimikov.net Приложение 1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20%цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди.2. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды 3. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?Ответ: 3 кг , 7 кг. 4. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра? 5. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди? Ответ: 9 кг и 6 кг. 6. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота?Ответ: 15 кг.  7. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?Ответ: 300 кг. 8. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы?Ответ: 3 : 2. 9. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.Ответ: 5%. 10. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора.Ответ: 12,5%.  «Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается». Саллюстий Гай Крисп