Презентация по математике на тему: Теория вероятности в заданиях ЕГЭ

ЕГЭматематика2017Теория вероятности в заданиях ЕГЭ по математикеМАЛЮГИННиколай Ивановичучитель математикиМАОУ Боровская СОШ Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. А ⋃ В (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,ВА ⋂ В (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.Ā называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте. Классическое определение вероятности Р(А) =тпт – число благоприятствующих событию А исходовп – число всех элементарных равновозможных исходов Вероятность суммы событийТеорема сложения вероятностей несовместных событий:Теорема сложения вероятностей совместных событий:P(A+B) = P(A) + P(B)P(A+B) = P(A) + P(B) – Р(АВ) Вероятность произведения событийДва события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.  P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B)Теорема умножения вероятностей независимых событий:Теорема умножения вероятностей зависимых событий:P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B/A),P(A ⋅ B) = P(B) ⋅ P(A/B).P(A/B) – условная вероятность события A при условии, что произошло событие B,P(B/A) – условная вероятность события B при условии, что произошло событие A. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.Задача 1.Решение:А = {формула содержится в первом справочнике};В = {формула содержится во втором справочнике};С = {формула содержится в третьем справочнике}.Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
Р(А) = 0,6 Р(В) = 0,7 Р(С) = 0,81). Р(АВС + АВС + АВС) =Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) =Р(А) = 1 – 0,6 = 0,4 Р(В) = 1 – 0,7 = 0,3 Р(С) = 1 – 0,8 = 0,2= 0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,2 +0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,2 +0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,8 =0,1882). Р(АВС + АВС + АВС) =Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) == 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,2 +0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,8 +0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,8 =0,4523). Р(АВС) =Р(А) ∙ Р(В) ∙ Р(С) =0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 =0,336Ответ: 1). 0,188; 2). 0,452; 3). 0,336.



















Задача 2.Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.Решение:А = {батарейка бракованная};А = {батарейка исправная}Р(А) = 0,06Р(А) = 1 – 0,06 = 0,94Р(АА) =Р(А) ∙ Р(А) =0,94 ∙ 0,94 =0,8836Ответ: 0,8836







Задача 3.Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный те­ле­фон­ный номер окан­чи­ва­ет­ся двумя чётными циф­ра­ми?Решение:А = {последняя цифра номера телефона – четная};В = {предпоследняя цифра номера телефона – четная}Р(А) = 0,5Р(В) = 0,5Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) =0,5 ∙ 0,5 =0,25Ответ: 0,25



Задача 4.Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,93. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,87. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.Решение:A = {чай­ник про­слу­жит боль­ше года, но мень­ше двух лет},В = {чай­ник про­слу­жит боль­ше двух лет},С = {чай­ник про­слу­жит ровно два года}, тогда A + B + С =  {чай­ник про­слу­жит боль­ше года}.Со­бы­тия A, В и С не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия С, со­сто­я­ще­го в том, что чай­ник вый­дет из строя ровно через два года — стро­го в тот же день, час и се­кун­ду — равна нулю.


Тогда: P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С) = P(A) + P(B),от­ку­да, ис­поль­зуя дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем 0,93 = P(A) + 0,87.Тем самым, для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти имеем: P(A) = 0,93 − 0,87 = Ответ: 0,06.0,06


Задача 5.Из рай­он­но­го цен­тра в де­рев­ню еже­днев­но ходит ав­то­бус. Ве­ро­ят­ность того, что в по­не­дель­ник в ав­то­бу­се ока­жет­ся мень­ше 18 пас­са­жи­ров, равна 0,82. Ве­ро­ят­ность того, что ока­жет­ся мень­ше 10 пас­са­жи­ров, равна 0,51. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что число пас­са­жи­ров будет от 10 до 17.Решение:A = {в ав­то­бу­се мень­ше 10 пас­са­жи­ров},В = {в ав­то­бу­се от 10 до 17 пас­са­жи­ров},Тогда A + B = {в ав­то­бу­се мень­ше 18 пас­са­жи­ров}, Р(А) = 0,51Р(А + В) = 0,82Р(В) = ?Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:P(A + B) = P(A) + P(B).0,82 = 0,51 + P(В), от­ку­да P(В) = 0,82 − 0,51 =Ответ: 0,31.0,31





Задача 6.Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.Решение:A = {шахматист А. выигрывает белыми фигурами},В = {шахматист А. выигрывает чёрными фигурами}.Р(А) = 0,5Р(В) = 0,3Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей:Р(АВ) = 0,5 ∙ 0,3 =0,15Ответ: 0,15.



Задача 7.Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.A = {биатлонист попал в мишень},Решение:Р(А) = 0,8A = {биатлонист промахнулся},Р(А) = 1 – 0,8 = 0,2События по­пасть или про­мах­нуть­ся при каж­дом вы­стре­ле не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Р(ААААА) =0,8 ∙ 08 ∙ 08 ∙ 02 ∙ 02 = 0,02048 0,02Ответ: 0,02.






Задача 8.По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.Решение:{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}1 – я лампа2 – я лампа1234перегоритперегоритперегоритперегоритне перегоритне перегоритне перегоритне перегоритA = {перегорели обе лампы},A = {не перегорела хотя бы одна лампа},Р(А) = ?Р(А) = 0,3 ∙ 0,3 =0,09Р(А) = 1 – 0,09 =0,91Ответ: 0,91.









Задача 9.В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.Решение:{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}3.074.075.076.071234хххххххохоооооооР(ххо) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 =0,128Р(хоо) = 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8 =0,128Р(охо) = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 =0,008Р(ооо) = 0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8 =0,128Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные P = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392















Задача 10. У жителя А. волшебной страны бывает два типа настроения: прекрасное и замечательное, причём настроение, установившись утром , держится неизменным весь день. Известно , что с вероятностью 0,8 настроение жителя А. завтра будет таким же , как и сегодня. Сегодня 10 апреля, настроение жителя А прекрасное . Найдите вероятность того, что 13 апреля у жителя А. настроение будет замечательным ?Решение:{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}10.0411.0412.0413.041234пппппппзпзззззззР(ппз) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 =0,128Р(пзз) = 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8 =0,128Р(зпз) = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 =0,008Р(ззз) = 0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8 =0,128Ука­зан­ные со­бы­тия не­сов­мест­ные P = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 =0,392















Задача 11. Вероятность дожить до 100 лет на настоящий момент без учета текущего возраста для жителя Японии составляет 16%, Китая – 10%, Индии – 6%. Какова вероятность, что хотя бы один из однокурсников Аристарха Лукова – Арбалетова – японец, китаец и индус доживет до 100 лет, если после обучения в России вернутся в родные страны?Решение:A = {японец доживет до 100 лет},Р(А) = 0,16В = {китаец доживет до 100 лет},Р(В) = 0,1С = {индус доживет до 100 лет},Р(С) = 0,06Р(А) = 0,84Р(В) = 0,9Р(С) = 0,94Р(А ⋃ В ⋃С) = 1 – Р(А ⋂ В ⋂С) =1 – 0,84 ∙ 0,9 ∙ 0,94 =0,28963Ответ: 0,28963









Задача 12. Команда бобслеистов состоит из четырёх человек. Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго – 0,2, для третьего – 0,3, для четвертого – 0,4. Какова вероятность того, что команда бобслеистов не выйдет на старт?Решение:A = {заболел первый участник},Р(А) = 0,1В = {заболел второй участник},Р(В) = 0,2С = {заболел третий участник},Р(С) = 0,3D = {заболел четвертый участник},Р(D) = 0,4Р(А) = 0,9Р(B) = 0,8Р(C) = 0,7Р(D) = 0,6Р(А ⋃ В ⋃С ⋃D) = 1 – Р(А ⋂ В ⋂С ⋂D) == 1 – 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 ∙ 0,6 =0,6976Ответ: 0,6976












Ответ: 0,012 Ответ: 0,94 Ответ: 0,086 Ответ: 0,3 Ответ: 0,9615