Детская работа по математике на тему Показательные уравнения и неравенства

Ученица 10 «А» школы №1392 Под руководством: Давтян Р.А. Показательные уравнения и неравенства Функцию вида 𝑦=𝑎𝑥 , где 𝑎>0 и 𝑎≠1 называют показательной функцией. х – независимая переменная, аргумент,у – зависимая переменная, функция, основание степени а – конкретное число.{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Свойство𝒂 >𝟏𝟎<𝒂<𝟏Область определения𝐷𝑓=(−∞;+∞)𝐷(𝑓)=(−∞;+∞)Область значения𝐸𝑓=(0;+∞)𝐸(𝑓)=(0;+∞)Монотонность Возрастает УбываетНепрерывность Непрерывная Непрерывная{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}СвойствоОбласть определенияОбласть значенияМонотонность Возрастает УбываетНепрерывность Непрерывная НепрерывнаяОсновные свойства показательной функции 𝑦=𝑎𝑥  Графиком показательной функции является экспонента: Решение показательных уравнений: Теорема 1.Показательное уравнение 𝑎𝑓𝑥= 𝑎𝑔𝑥где a>0, 𝑎≠1 равносильно уравнению 𝑓𝑥=𝑔(𝑥) Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями: Пример 1.Решите уравнение:Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:𝑡=2𝑥Уравнение тогда принимает вид:2𝑡2−5𝑡−88=0Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=52−4×2×−88=729=272>0Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:𝑡1=−𝑏+√𝐷2𝑎=−−5+272𝑎=8𝑡2=−𝑏−√𝐷2𝑎=−−5−272𝑎=−5,5Переходя к обратной подстановке, получаем:2𝑥=82𝑥=−5,5Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем первое:2𝑥=8→2𝑥=23С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию. 22𝑥+1−5×2𝑥−88=0  Пример 2. Решите уравнение:3𝑥×7𝑥+2=49×4𝑥Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:49×3𝑥×7𝑥=49×4𝑥Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.Ответ: x = 0. Пример 3. Решите уравнение:Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:Ответ: x = 2. Решение показательных неравенств:Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:Теорема 2. Если 𝑎>1, то неравенство 𝑎𝑓𝑥>𝑎𝑔(𝑥) равносильно неравенству того же смысла: 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥). Если 0<𝑎<1, то показательное неравенство 𝑎𝑓(𝑥)>𝑎𝑔(𝑥)равносильно неравенству противоположного смысла: 𝑓𝑥<𝑔𝑥.  Пример 4. Решите неравенство:16𝑥−2×12𝑥≤32𝑥+1Решение: представим исходное неравенство в виде:42𝑥−2×4𝑥×3𝑥−3×32𝑥≤0Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:Воспользуемся подстановкой:Тогда неравенство примет вид:𝑡2−2𝑡−3≤0  Итак, решением неравенства является промежуток:−1≤𝑡≤3,переходя к обратной подстановке, получаем:Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:Итак, окончательно получаем ответ:  Пример 5. Решите неравенство:7𝑥−307𝑥−1+1≤−14Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:7𝑥−3017×7𝑥+1≤−14Введем новую переменную:𝑡=7𝑥С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:𝑡−3017×𝑡+1+14≤0↔Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:7𝑡−210𝑡+7+14≤0↔21𝑡−112𝑡+7≤0↔3𝑡−16𝑡+7≤0  Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:−7≤𝑡≤163Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:−7≤7𝑥≤1637𝑥≤7log7163Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:𝑥≤log7163Окончательно получаем ответ:𝑥∈(−∞; log7163  Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Спасибо за внимание