Презентация по математике на тему Точки перегиба. Направление выпуклости графика функции (1 курс ССУЗ)

Точки перегиба. Направление выпуклости графика функции.Автор: преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.
Цель урока:Формирование представлений о направлении выпуклости графика функции в зависимости от знака её второй производной.Обеспечение усвоения понятия точки перегиба. Формирование представлений о правиле нахождения точек перегиба графика функции.Формирование умений исследовать функцию на направление выпуклости и определять точки перегиба.


Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) в промежутке a<x<b, если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке этого промежутка.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной:Если в некотором промежутке f′′(x)>0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке.Если же f′′(x)<0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Пример 1. Исследовать на направление выпуклости кривую f(x)=1/x в точках x1=-2 и x2=1.Находим: f′(x)= - 1/x²f′′(x)= 2/x³f′′(-2)= 2/(-2)³<0f′′(1)= 2/1³>0Таким образом, в точке x=-2 кривая выпукла вверх, а в точке x=1 – выпукла вниз.



Пример 2. Найти промежутки выпуклости кривых: а) f(x)=x³Находим: f′(x)= 3x²f′′(x)= 6xВ промежутке -∞<x<0 имеем f′′(x)<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.В промежутке 0<x<+∞ имеем f′′(x)>0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз.



Пример 2. Найти промежутки выпуклости кривых: б) f(x)=x⁴ - 2x³ + 6x – 4Находим: f′(x)= 4x³ - 6x² + 6f′′(x)= 12x² - 12x = 12x (x – 1)В промежутках -∞<x<0 и 1<x<+∞ имеем f′′(x)>0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз.В промежутке 0<x<1 имеем f′′(x)<0, т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.



Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции y=f(x), в которых вторая производная f′′(x)=0 или терпит разрыв.Если при переходе через критическую точку x0 f′′(x) меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (x0;f(x0)).

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)I. Найти вторую производную f′′(x). II. Найти критические точки функции y=f(x), в которых f′′(x)=0 или терпит разрыв. III. Исследовать знак f′′(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 – абсцисса точки перегиба функции. IV. Вычислить значения функции в точках перегиба.


Пример 3. Найти точки перегиба кривых: а) f(x)= 6x² – x³Находим: f′(x)= 12x – 3x²f′′(x)= 12 – 6xf′′(x)=0 x=2 – критическая точкаВ промежутке -∞<x<2 f′′(x)>0, а в промежутке 2<x<+∞ имеем f′′(x)<0, тогда при x=2 кривая имеет точку перегиба.Найдем ординату этой точки:f(2)=16Следовательно, (2;16) – точка перегиба.




Пример 3. Найти точки перегиба кривых: б)Находим: f′′(x)=0 x=0 – критическая точка, в которой вторая производная терпит разрыв.В промежутке -∞<x<0 f′′(x)<0, а в промежутке 0<x<+∞ имеем f′′(x)>0, тогда при x=0 кривая имеет точку перегиба (0;-2).