Метод координат в пространстве

Метод координат в пространстве Координаты точки и координаты вектора Выполнили:курсанты 111 группыВащенко ДмитрийГалайчук Валерий Цель : обобщение и систематизация знаний по теме « Метод координат в пространстве Прямоугольная система координат в пространстве Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждом из них выбрано направление(оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Рассмотрим рисунок x y z точка О -начало координат, оси координат: ox, oy, oz.,координатные плоскости :Оxy, Oyz, Oxz. т. А( x ,0.0) Є OX т.В ( 0,y,0 ) Є OYт.С( 0,0,z ) Є OZ О . . А. В С . В Е К Т О Р - это направленный отрезок Начало вектора Конец вектора а КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ - это векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых а b c СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ - это векторы, имеющие одно направление а b Если векторы сонаправлены и их длины равны, то эти векторы называются РАВНЫМИ а b СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ Для любых векторов справедливы равенства:a+b=b+a (переместительный закон)(a+b)+c=a+ (b+c) (сочетательный закон) a b a+b УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (kl) a =k (la) - сочетательный закон k (a+b) = ka + kb - 1-ый распределительный закон(k + l) a = ka + la - 2-ой распределительный закон Угол между прямыми - направляющий вектор прямой а - направляющий вектор прямой b - угол между прямыми Координаты правильной треугольной призмы Координаты правильной шестиугольной призмы Координаты правильной четырехугольной пирамиды Угол между прямой и плоскостью - направляющий вектор прямой - нормальный вектор плоскости Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору -нормальный вектор плоскости , где Уравнение плоскости Если плоскость проходит через начало координат, то d=0 Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то , где уравнение плоскости в отрезках Расстояние между параллельными плоскостями Угол между плоскостями Вектор нормали плоскости Вектор нормали плоскости Определение луча на координатной плоскости. Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч – отрицательной полуосью. Прямоугольная система координат В прямоугольной системе координат каждой точке M пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами. y z x M 1 M 2 M 3 M O Нахождение точки на координатной плоскости. Если, например, точка M лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые её координаты равны нулю. Так, если M принадлежит Oxy, то аппликата точка M равна нулю: z=0. Аналогично если M принадлежит Oхz, то y=0, а если M принадлежит Oyz, то x=0. Если M принадлежит Ox, то ордината и аппликата точки M равна нулю: y=0 и z=0. Если M принадлежит Oy, то x=0 и z=0; если M принадлежит Oz, то x=0 и y=0. Все три координаты начала координат равны нулю: О (0;0;0). Напиши координаты для точек A, B, C, D, E, F на рисунке следующего слайда. Координаты вектора На каждом из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единицы. j k i y z x O Разложение по координатным векторам Любой вектор a можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а = xi + yj + zkПричем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом. Запись координат вектора. Координаты вектора а будут записываться в фигурных скобках после обозначения вектора: а {x; y; z}. На рисунке справа изображен прямоугольный параллелепипед имеющий измерения: OA =2, OA =2, OA =3. Координаты векторов изображенных на этом рисунке, таковы: a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},A A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},j {0;1;0}, k {0; 0; 1} A A A A O y x z a j i k b 3 2 1 1 2 3 3 Нулевой вектор и равные вектора Так как нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0i + 0j + 0k, то все координаты нулевого вектора равны нулю.Координаты равных векторов соответственно равны, т.е. если векторы a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } равны, то x =x , y =y и z =z . 1 1 1 2 Правила нахождения суммы, разности и произведения на данное число. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } – данные векторы, то вектор a + b имеет координаты {x +x ; y +y ; z +z } 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 Правило №2 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Если a {x ; y ; z } и b {x ; y ; z } – данные векторы, то вектор a – b имеет координаты {x –x ; y –y ; z –z } 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 Правило №3 Каждая координата произведения вектора на число равна произведение соответствующей координаты вектора на это число. Если a {x; y; z } – данный вектор, α - данное число, то вектор αa имеет координаты { x; y; z} α α α Связь между координатами векторов и координатами точек. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус-вектором данной точки.Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Простейшие задачи в координатах Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.Длина вектора a {x; y; z} вычисляется по формуле |a| = √xІ + yІ + zІ Расстояние между точками Расстояния между точка M (x ; y ; z ) и M (x ; y ; z ) вычисляется по формуле d = √(x – x )І + (y – y )І + (z – z )І Задачка Дано: ОА=4, ОВ=9, ОС=2M, N и P – середины отрезков AC, OC и CB.Найти по рисунку справа координаты векторов AC, CB, AB. P B y N j i k M O C A x z Решение: AC = AO + OC = 4i + 2k, AC {-4; 0; 2} CB = CO + OB = 2k + 9j, CB {0; 9; 2} AB = AO + OB = -4i + 9j, AB {-4; 7; 0} Спасибо за внимание!!! Презентация сделана по учебнику геометрии для 10 -11 классаАвторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк