Презентация на тему: Кривые второго порядка

Кривые 2-го порядкаКривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнениемax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКАВпервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли кривые второго порядка как сечения кругового конуса. Таково же происхождение кривых Персея, получаемых в результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может быть определена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии, перпендикулярной к её оси и т.д.Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Окружность Окружность' — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Окружность' - Геометрическая фигура на плоскости, образованная множеством точек, равноудалённых от данной (её центра).
Эллипс Эллипс (др.-греч. — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости. Для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть| F1M | + | F2M | = 2a, причем | F1F2 | < 2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
Парабола Парабола (греч. — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы) Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.Директриса — прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом. Гипербола Гипербола (др.-греч. — «бросать», «сверх») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее,│|F1M| ─ |F2 M|│= 2a причем | F1 F2 | > 2a > 0.
Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.Квадрика — проективное алгебраическое многообразие, которое можно задать однородным квадратным уравнением
Коническое сечение или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты: вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0; пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0; вырожденная парабола — при условии D = 0: пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0; одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0; пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0. Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты: вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0; пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0; вырожденная парабола — при условии D = 0: пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0; одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0; пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.