Презентация по геометрии в 11 классе по теме:Вычисление объемов тел вращения через интеграл

УРОК №2ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ Составила учитель математики МБОУ «Красногвардейская школа №1»Коваленко И.Н. Проблема:найти объем мороженицы Тема урока:Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла АлгебраОпределенный интеграл Если функция f(x) непрерывна на промежутке числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на данном промежутке называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b. У х y=f(x) O Определение криволинейной трапецииЕсли функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. a b Алгебра Определение тела вращения Тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг её основания, называется телом вращения У х y=f(x) O Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. Любое поперечное сечение тела вращения – круг. Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ,а основанием является сечение - круг. Радиус круга равен значению функции в хс . Площадь этого круга – S(x) = π f 2 (xс)Объём цилиндра – V=S(x)∙ Δx y=f(x) f(xс) y xс r Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров. Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ:Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле: Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞ равен определенному интегралу. x y=f(x) y Замечание! Объем тела вращения вычисляется по одной из формул: ,если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ. Алгоритм решения задач: Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой образуется тело вращения;Найти пределы интегрирования;Выяснить какой формулой удобно пользоваться в данном случае;Вычислить объем тела вращения. Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ.Найдите объём тела вращения. у=х2 у О х 2 Задача. Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ.Найдите объём тела вращения. y O x 4 Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. А спутниковые антенны состоят из параболоидов вращения Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;4] вокруг оси ОУ.Найдите объём тела вращения.(параболоид) Решение проблемы:Как найти объем мороженицы? Поверхность телаполучена вращением фигуры, образованной графиками функций: Решение: Схема решения Вычисление определённых интегралов Итог урока: Я удивился ….Я умею …Я точно знаю, что ….Я запомнил ….Я понял ….Мне было …. Домашнее задание: п.78, выучить основные формулы;№ 674, № 675