Презентация по математике на тему «Тригонометрические уравнения и методы их решения» (10 класс)

Тригонометрические уравнения и методы их решений Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего видарешение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения  тригонометрических уравнений. Содержание: Алгебраический методМетод разложения на множителиМетод вспомогательного углаОднородные уравненияУниверсальная подстановкаМетод оценкиМетод понижения степениМетод сравнения множествПереход к половинному углуПреобразование произведения в сумму Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки. Пример. Решить уравнение:2cos2x-sinx+1=0Решение. 2(1-sin2x)-sinx+1=0-2sin2x-sinx+3=02sin2x+sinx-3=0Пусть sinx=y, -1≤y≤12y2+y-3=0y1=-1,5- не подходит по условиюy2=1Возвращаемся к старой переменной:sinx=1x=∏/2+2∏k, k є Z Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение: sinx - sin2x = 0 Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 01. sinx=0 x=∏k, k є Z2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2∏n, n є ZОтвет: x=∏k, k є Z Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение:3sinx-4cosx=5Решение. 32+42=25√25=55(3sinx/5-4cosx/5)=53sinx/5-4cosx/5=1Т.к. (3/5)2+(4/5)2=1, то3/5=cosφ φ=arccos(3/5)4/5=sinφ φ=arcsin(4/5)sinx∙cosφ-cosx∙sinφ=1sin(x-φ)=1x-φ= ∏/2+2∏k, k є Zx=∏/2+φ+2∏k, k є Zx=∏/2+arcsin(4/5)+2∏k, k є Z Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:а)  перенести все его члены в левую часть;б)  вынести все общие множители за скобки;в)  приравнять все множители и скобки нулю;г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;  д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg .  Пример.   Решить уравнение: 3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2.Решение.  3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x sin2x + 4sinx · cosx + 3cos2x = 0 tg2x + 4tgx + 3 = 0 ,отсюда  y2 + 4y +3 = 0 ,корни этого уравнения:y1 = -1,  y2 = -3,отсюда1) tg x = –1, x=-∏/4+∏k, k є Z2) tg x = –3, x=-arctg3+∏n, n є Z Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции.Пусть tg(x/2)=t, тогдаsinx=2t/(1+t2) (1)cosx=(1-t2)/(1+t2) (2)tgx=2t/(1-t2)В конце решения следует обязательно сделать проверку! Пример. Решить уравнение:3sinx-4cosx=3Решение.При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю:(6t-4+4t2)/(1+t2)=3Т.к. 1+t2>0, то4t2+6t-4=3+3t2t2+6t-7=0t1=-7 t2=1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2∏k, k є Z tg(x/2)=1 x=∏/2+2∏n, n є Z Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение. Пример. Решить уравнение: sinx∙sin5x=1 sinx=1x=∏/2+2∏m, m є Zsin5x=1 - ?sin5(∏/2+2∏n)=1sin(5∏/2+5∙2∏n)=1sin(5∏/2)=1sin(∏/2)=1 - верноОтвет:x= ∏/2+∏k, k є Z sinx=-1x=-∏/2+2∏n, n є Zsin5x=-1 - ?sin5(-∏/2+2∏n)=-1sin(-5∏/2+5∙2∏n)=-1sin(-5∏/2)=-1sin(-∏/2)=-1- sin(∏/2)=-1 - верно Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени:2sin2x=1-cos2x2cos2x=1+cos2x Пример. Решить уравнение:sin4x+cos4x=Ѕsin22xРешение. (sin2x)2+(cos2x)2=Ѕsin22xј(1-2cos2x+cos22x+1+2cos2x+cos22x)=Ѕ(1-cos22x)Ѕ(2+2cos22x)=1-cos22x1+cos22x= 1-cos22x2cos22x=0cos2x=02x=∏/2+∏k , k є Zx= ∏/4+∏k/2 , k є Z Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств.Если Е(f) ∩ E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решенийЕсли Е(f) ∩ E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки. Пример. Решить уравнение: 6cos25x-5cosx+5,1=0 (1)Решение. 6cos25x+5,1=5cosx (2)Пусть f(x)=6cos25x+5,1 и φ(x)=5cosx.Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x),Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x).Так как Е(f) ∩ E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно.Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже реше-ний не имеет. Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента:sin2x=2sinx∙cosxcos2x=cos2x-sin2xВ конце решения следует обязательно сделать проверку! Пример. Решить уравнение:2sinx–cosx=2. Решение.4sin(x/2)·cos(x/2)-cosІ(x/2)+sinІ(x/2)= =2sinІ(x/2)+2cosІ(x/2)sinІ(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cosІ(x/2)=0tgІ(x/2)–4tg(x/2)+3=0tg1(x/2)=1 x=∏/2+2∏k , k є Z tg2(x/2)=3 x=2arctg3+2∏k , k є Z Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида:1. sinαx∙sinβx=sinγx∙sinδx,если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαx∙cosβx=cosγx∙cosδx,если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ3. sinαx∙sinβx=cosγx∙cosδx,если α-β=±(γ+δ)4. cosαx∙cosβx=sinγx∙sinδx,если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ Этот метод включает в себя применение формул:преобразования произведения в сумму:2sinα∙sinβ=cos(α-β)-cos(α+β)2cosα∙cosβ=cos(α+β)+cos(α-β)2sinα∙cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)2cosα∙sinβ=sin(α+β)-sin(α-β)преобразования суммы в произведение:sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)∙cos((α-β)/2)sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)∙sin((α-β)/2)cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)∙cos((α-β)/2)cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)∙sin((α-β)/2) Пример.  Решить уравнение:sinx∙sin5x=cos4xРешение. Преобразуем левую часть в сумму:Ѕcos4x – Ѕcos6x = cos4x  Ѕcos6x+Ѕcos4x= 0cos6x+cos4x=0Преобразуем левую часть в произведение:2cos5x∙cosx=0cos5x∙cosx=0 cos5x=0, x=∏/10+2∏k/5, k є Z cosx=0, x=∏/2+2∏n, n є Z. Ответ:x=∏/10+2∏k/5, k є Z Презентацию подготовилаученица 11 «А» классаМозжухина Софья