Презентация на тему Организация поисковой и рефлексивной деятельности учащихся при решении планиметрических задач.

Организация поисковой и рефлексивной деятельности учащихся при решении планиметрических задач. Подготовила Марухленко В.М. учитель математики МБОУ Новоромановская СОШ Цели занятия:Показать различные приемы решения планиметрических задач.2. Показать, как организовать поисковую и рефлексивную деятельность учащихся при решении планиметрических задач.3. На пример продемонстрировать порядок оформления решения планиметрической задачи. Этапы работы над планиметрической задачей: 1. Построение чертежа и нанесение всех данных задачи.2. Поиск способа решения задачи, который заканчивается составлением плана решения задачи.3. Оформление решения.4. Подведение итогов. Задача Окружность с центром О проходит через квадрата ABCD и касается сторон BC и CD. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах Изобразите фигуры, участвующие в задаче, и нанесите на рисунок все данные. Какие дополнительные построения сделаны на чертеже? Сравните свой рисунок с рисунком 1. B A C D O K Рис.1 Поиск решения. Какие фигуры образовались на чертеже? ∆AOD отр.OK ∆OKD ΔBCD ΔBAD Что известно о данных фигурах? AC ┴ BDAC и BD биссект-рисы углов ∟OAD=45°∟ADO=∟ADK+∟KDO∟OAD+∟ODA+∟AOD=180° окр. OK касается BC и CD проход. через K-центр квад.,значит, окр. вписана в ΔBCD OK┴BD. DO-биссектриса ∟СDB прямоуг, OK┴KD, т.к. KD┴AC ОK-радиус окр.провед. в т.касан..∟KDO=Ѕ∟CDK. Прямоуг, равнобед.Вписана в него окр. Прямоуг., равнобед.,AK-биссектриса угла A Что можно найти по данным задачи? OD-биссектриса ∟KDC,∟KDO=∟ODC,∟KAD=∟KDA=45°, ∟KDO=Ѕ∟CDK=22,5°; ∟ADO=∟ADK+∟KDO=67,5°; тогда∟AOD=180°-(∟OAD+∟ADO) A C O K B D Квад-рат ABCD Составьте план решения задачи.План решения: B A C D O K 1. Рассмотрим ΔBDC, O-центр вписанной окружности2. Рассмотрим ΔKDO, ∟ KDO=Ѕ∟CDK; 3. Рассмотрим ΔAKD, ∟ADK=Ѕ∟ADC, ∟AOD=ЅBAD4. Рассмотрим ΔAOD, ∟AOD=180°-(∟OAD+∟ADO) Дано: ABCD-квадрат, K-центр квадрата , окружность касается сторон BC и CD квадрата и проходит через т.KНайти:∟AOD, ответ выразить в градусахРешение: 1. Рассмотрим ΔBDC, O-центр вписанной окружности, лежащий на пересечении биссектрис углов BDC и BCD. Значит ∟BDO=∟ODC= Ѕ∟BDC=22,5°.2. Рассмотрим ΔKDO, ∟ KDO=Ѕ∟CDK=22,5 °3. Рассмотрим ΔAKD, ∟ADK=Ѕ∟ADC=45 °, (по свойству диагоналей квадрата) ∟OAD=ЅBAD=45 °(по свойству диагоналей квадрата)4. Рассмотрим ΔAOD, ∟ADO=∟ADK+ ∟ KDO=45°+22,5°=67,5° ∟AOD=180°-(∟OAD+∟ADO)=180°-(45°+67,5°)=67,5° Ответ: 67,5°. Оформление решения. Подведение итогов.Какие сведения из курса планиметрии потребовались для решения задачи?2. Сгруппируйте теоретические сведения по группам: «Окружность»,«Треугольник», «Квадрат».«Окружность»: 1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. 2) Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов. 3)Радиус,проведенный в точку касания,перпендикулярен касательной окружности. «Треугольник»: 1) Сумма углов треугольника равна 180° 2)Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.«Квадрат»: 1) Диагонали квадрата делят углы квадрата пополам. 2) Все углы квадрата прямые 3) Центр симметрии квадрата- точка пересечения его диагоналей.3. Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее? - важно на чертеж, сделанный по условию задачи, нанести все данные задачи; - если обнаруженные данные не соответствуют первоначальному чертежу, то надо построить новый чертеж; Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее? - поиску способа решения задачи помогают вопросы: «Какие фигуры образовались на чертеже?» «Что о них известно?» «Что можно найти по данным задачи?» - ответы на вопросы поиска удобно отражать в схеме поиска и наносить результаты рассуждений на чертеж; - подвести итоги способа решения помогает составление плана решения; - найти другие способы решения задачи -полезно подводить итоги работы с планиметрической задачей, отвечая на вопросы: «Какие сведения из курса планиметрии потребовались для решения задачи?» (удобно ответы систематизировать по группам), «Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее?». Задача Площадь равностороннего треугольника ABC равна 72. Окружности с центрами О1,О2,О3 лежат внутри треугольника ABC и каждая из них проходит через точку пересечения его медиан. При этом окружность с центром О1 касается сторон АВ и ВС с центром О2 касается сторон АВ и АС, с центром О3 сторон АС и ВС. Найти площадь треугольника О1О2О3? Изобразите фигуры, участвующие в задаче, и нанесите на рисунок все данные. В А С К О3 О2 М О1 Н Сравните свой рисунок с рисунком 1. Рис.1 Какие дополнительные построения сделаны на чертеже? Поиск решения. A Какие фигуры образовались на чертеже? ∆CHO3 ∆O2MO3 ∆O1O2O3 Что известно о данных фигурах? Угол Н=90, т.к. радиус перпендик касат. Угол С=30, т.к. СМ-биссектриса. Треугольник подобен ∆АМС по двум углам Треугольник подобен треугольнику АВС по трем сторонам Что можно найти по данным задачи? О3С = 2О3Н, АМС=3О3Н, значит МО3:МС=1:3 В А С К О3 О2 М О1 Н Составьте план решения задачи.План решения:1. Проведем О3Н ┴ВС.2. Док-ть МС=3О3Н.3. Док-ть подобие ∆О2МО3 и ∆AМC.4. Найти K.5. Док-ть подобие ∆О1О2О3 и ∆АВС .6. Найти площадь ∆О1О2О3 по формуле отношения площадей подобных фигур. Дано: ∆ABC-равносторонний, его площадь = 72. Окружности (О1R), (О2R), (О3R) лежат внутри треугольника АВС и проходят через точку М – пересечение меридиан. (О1R) касается АВ и ВС, (О2R) касается АВ и АС, (О3R) касается СА и СВНайти: площадь ∆О1О2О3.Решение: Пусть О3С=r.2. ∆НО3С, угол Н=90, угол С=30. Отсюда следует О3С=2r.3. МС=МО3+О3С=3r.4. ∆О1МО3 подобен ∆АМС по двум углам.5. Т.к. ∆О2МО3 подобен ∆АМС значит МО3:МС =r:3r=1:3 . 6. ∆О1О2О3 подобен ∆АВС(по трем сторонам)7. Отношение площади ∆О1О2О3 к площади ∆АВС = КІ. Значит площадь ∆О1О2О3=площади ∆АВС*1/9=72*1/9=8Ответ: 8. Оформление решения. Подведение итогов.Какие сведения из курса планиметрии потребовались для решения задачи?2. Сгруппируйте теоретические сведения по группам: «Окружность»,«Треугольник», «Четырехугольник».«Окружность»: 1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. 2) Треугольник, образованный тремя центрами окружностей является равносторонним. 3) Радиус,проведенный в точку касания,перпендикулярен касательной окружности.4) Формула отношения площадей подобных фигур «Треугольник»: 1) Медиана равностороннего треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой треугольника.«Четырехугольник»: 1) Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и один из углов прямой, является прямоугольником. Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее? - важно на чертеж, сделанный по условию задачи, нанести все данные задачи; - если обнаруженные данные не соответствуют первоначальному чертежу, то надо построить новый чертеж; Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее? - поиску способа решения задачи помогают вопросы: «Какие фигуры образовались на чертеже?» «Что о них известно?» «Что можно найти по данным задачи?» - ответы на вопросы поиска удобно отражать в схеме поиска и наносить результаты рассуждений на чертеж; - подвести итоги способа решения помогает составление плана решения; - полезно подводить итоги работы с планиметрической задачей, отвечая на вопросы: «Какие сведения из курса планиметрии потребовались для решения задачи?»(удобно ответы систематизировать по группам), «Что из работы над задачей полезно запомнить на будущее?». Литература:Геометрическое образование: концепции, методики, технологии: сборник трудов Всероссийского научно-методического семинара «Геометрическое образование в современной средней и высшей школе», 26-28 ноября 2009, Россия, г. Тольятти/ Под общ. Ред. Р.А. Утеевой. – Тольятти: ТГУ, 2009. -237с.2. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010. -96с.3. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. -480с.4. Подготовка учащихся к ЕГЭ-2010 по математике: математические затруднения учащихся и методические пути их преодоления: Пособие для учителей математики учреждений среднего и профессионального образования брянской области/ Под редакцией И.Е. Маловой – Выпуск 2. – Брянск2010: РИО БГУ/5. И.В.Ященко, С.А.Шестаков и др. «Математика ГИА 2012» типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен» - Москва 2012.