Презентация «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»
Тождественные преобразования тригонометрических выражений Рекомендации. Выполнение преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Иногда могут быть полезны следующие рекомендации:1.Если выражение содержит разные тригонометрические функции одного аргумента, то попробуйте все функции выразить через одну или две функции. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус и косинус этого же угла; 2.Если в выражение входят тригонометрические функции от разных аргументов, то попытайтесь свести все функции к одному аргументу;3.Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрической функции через кофункцию; 4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда помочь в преобразовании тригонометрического выражения;5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сразу же вычесть. Иногда полезно какое - то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезным представить в виде: 6. Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля); 7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В простейших случаях он сводится к замене чисел тригонометрическими функциями соответствующих углов;8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени;9. Если данное выражение является однородным многочленом n-ой степени относительно то преобразование можно выполнять путем вынесения за скобки Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы:Формулы приведения.Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.Формулы сложения аргументов.Формулы двойного угла.Формулы половинного аргумента.Формулы преобразования суммы(разности) тригонометрических функций в произведение.Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму( разность). Если функция стоит в четной степени, то можно не обращать внимание на четверть и не стоит определять знак функции, а только посмотреть меняем ли на кофункцию. В случае, если аргумент записан в виде (-) Пример 1. Вычислить tg, зная что Примечание: если будет известно значение ctg, то необходимо разделить на sin . Пример 2. Вычислить , если tg=4 . Пример 3. Найти cos2, если tg=1/2.Используем формулу: Пример 4. Найти tg, если известно, что и III четверти. Так как tg в третьей четверти принимает положительные значения, то Пример 5. Вычислить sin, если Пример 1. Вычислить Пример 2. Вычислить Пример 3. Упростить: Пример 4. Упростить: Пример 5. Упростить: Пример 6. Найти: sin(+). Применим формулу sin(+)=sin cos+cos sin Пример 7. Вычислить tg, если tg=1 , tg(-)=-2 Формулы двойного угла Примеры: Примеры: Формулы двойного угла Упростить: Формулы суммы и разности тригонометрических функций Формулы суммы и разности тригонометрических функций Пример 1. Пример 2. Формулы суммы и разности тригонометрических функций Пример 3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций Пример 4. Формулы суммы и разности тригонометрических функций Вычислить: 0 Вычислить: Воспользуемся формулой: Получим: Вычислить: При выполнении задания можно воспользоваться формулой из учебника М.Л.Галицкого «Сборник задач по алгебре 8 – 9 класс»Пусть (аn) – арифметическая прогрессия с разностью d и Sn=sin a1+sin a2+…+sin an. В нашем случае a1=90, d=400, n=9, следовательно: Sn=cos a1+cos a2+…+cos an. Вычислите его значение, если Вычислить: Вычислить: если Вычислите значение выражения I способ Вычислить: Вычислить: II способ Пример: Доказать тождество: Применили формулу 1 способ 2 способ 3 способ Упростите Доказать тождество: Аналогично доказываются тождества: Пользуясь этими тождествами легко доказать, что: Вычислить: Второй способ: Вычислить: Вычислить: Примеры преобразований тригонометрических выраженийчасто встречающиеся или имеющие необычный подход в решении Пример1: Способ 2 Применили формулу и т.д., кроме этого: умножим: все попарные произведения дают 1, а tg450=1. следовательно все выражение равно 1. Пример 2: Вычислить: Преобразовать в произведение. Вычислить: Воспользуемся формулами перехода от одной обратной тригонометрической функции к другой: Используемая литература А. Н. Шыныбеков «Алгебра и начала анализа». Алматы «Атамура» 2006 г.М. Л. Галицкий «Сборник задач по алгебре 8-9». Москва «Просвещение» 2005 г.Яремчук Ф.П, Рудченко П.А. «Алгебра и элементарные функции». Киев «Наукова думка» 1987 г.Цыпкин А. Г, Пинский А.И. «Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы». Москва «Наука» 1983 г.И.П. Рустюмова, С.Т. Рустюмова «Пособие для подготовки к ЕНТ по математике». Алматы 2010 г.Сборники тестов по математике 2003-2011 гг.