Презентация на тему Решение уравнений и систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований

Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований.Выполнила:учитель математики СШ №9 Н.Г. Распутина 𝑥+𝑦=5𝑥𝑦=6  Пример 1. Решить систему.𝑥=5−𝑦−𝑦2+5𝑦=6  −𝑦2+5𝑦−6=0 D=25-24=1𝑦1=−5−12=3 , 𝑥1=2𝑦2=−5+12=2 , 𝑥2=3Ответ: 𝑥1=2𝑦1=3 𝑥2=3𝑦2=2   Если х, у удовлетворяют равенствам х + у = -р, ху = q, то х и у - корни уравнения z2 + pz + q = 0.Применение этой теоремы к искомым числам х и у позволяет утверждать, что х и у - корни уравнения z2 - 5z + 6 = 0. После решения этого уравнения можем записать ответ:  𝑥1=𝑧1𝑦1=𝑧2 𝑥2=𝑧2𝑦2=𝑧1 т.е. 𝑥1=3𝑦1=2 и 𝑥2=2𝑦2=3  𝑥+𝑦+𝑧=6𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=11𝑥𝑦𝑧=6 Пример 2.Система содержит три переменных, поэтому, скорее всего, имеет смысл применить теорему, обратную теореме Виета для многочлена третьей степени: "Если х, у, z удовлетворяют равенствамх + у + z = -р, ху + yz + xz = q, xyz = -г, то x,y,z - корни уравненияu3 + pu2 + qu + г = 0"Следовательно, x,y,z - корни уравнения u3 – 6u2 + 11u — 6 = 0 𝑢1=1, 𝑢2=2, 𝑢3=3  Запишем ответ:𝑥1=1𝑦1=2𝑧1=3 𝑥2=1𝑦2=3𝑧2=2 𝑥3=2𝑦3=1𝑧3=3 𝑥4=2𝑦4=3𝑧4=1 𝑥5=3𝑦5=1𝑧5=2 𝑥6=3𝑥6=2𝑥6=1   𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥2𝑥+3𝑦+5𝑧=10  Пример 3.Покажем, что каждая из этих ассоциаций приводит к решению. 𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥𝑥2−𝑦+𝑥𝑥+𝑦2−𝑦𝑧+𝑧2=0 D=𝑦2+2𝑦𝑧+𝑧2−4𝑦2+4𝑦𝑧−4𝑧2=−3(𝑦−𝑧)2,−3(𝑦−𝑧)2≤0 𝐷≤0, следовательно 𝑦=𝑧, тогда 𝑥=𝑦  𝑥2+𝑦2+𝑧2−𝑥𝑦−𝑦𝑧−𝑧𝑥=02𝑥2+2𝑦2+2𝑧2−2𝑥𝑦−2𝑦𝑧−2𝑧𝑥=0 (𝑥−𝑦)2+(𝑦−𝑧)2+(𝑧−𝑥)2=0 (1)т.к. (𝑥−𝑦)2≥0, (𝑦−𝑧)2≥0, (𝑧−𝑥)2≥0, то равенство (1) возможно лишь в случае 𝑥−𝑦=𝑦−𝑧=𝑧−𝑥=0, т.е. 𝑥=𝑦=𝑧  𝑥2+𝑦2≥2𝑥𝑦𝑦2+𝑧2≥2𝑦𝑧 𝑥2+𝑧2≥2𝑥𝑧 Сложим почленно эти неравенства2𝑥2+2𝑦2+2𝑧2≥2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥 𝑥2+𝑦2+𝑧2≥𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 Равенство возможно в том и только в том случае, если 𝑥=𝑦=𝑧 Далее как в (1) и (2) Приходим к системе:𝑥=𝑦=𝑧2𝑧+3𝑦+5𝑧=10 Решая ее, находим 𝑥=𝑦=𝑧=1,Ответ: 𝑥=1𝑦=1𝑧=1   Пример 4.14(𝑥−𝑦)2−(𝑥−𝑦)4=𝑦2−2𝑥2𝑦>4𝑥4+4𝑦𝑥2+12 Выделим полный квадрат и преобразуем исходную систему к следующему виду:116−𝑥−𝑦²−14²=𝑦2−2𝑥2𝑦>4𝑥4+4𝑦𝑥2+12   Если (𝑥0, 𝑦0) – решение системы, то116−((𝑥0−𝑦0)2−14)2=𝑦02−2𝑥02𝑦0>4𝑥02+4𝑦0𝑥02+12 Тогда116−((𝑥0−𝑦0)2−14)2+𝑦0>𝑦02−2𝑥02+4𝑥02+4𝑦0𝑥02+12   Теперь ясно, что неравенство (2) равносильно системе: 116−((𝑥0−𝑦0)2−14)2=116𝑦0+4𝑥02−12=0 𝑥0−𝑦0=12𝑦0+4𝑥02−12=0 𝑥0−𝑦0=1𝑦0+4𝑥02−12=0 𝑥0−𝑦0=−12𝑦0+4𝑥02−12=0 𝑦0=𝑥0−12𝑥0−12+2𝑥02−12=0   𝑥0=−1𝑦0=−32𝑥0=12𝑦0=0𝑥0=0𝑦0=12𝑥0=−12𝑦0=0           (3)Итак, все решения системы (1) содержатся среди решений совокупности (3)  Подстановкой убеждаемся, что решением исходной системы являются:𝑥1=−1𝑦1=−32       𝑥2=0𝑦2=12  Спасибо за внимание! Всем творческих успехов!