Презентация по математике на тему Основные свойства функций. Возрастание и убывание функций. Экстремумы
Основные свойства функцийВозрастание и убывание функций. Экстремумы
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
Возрастание и убывание функцийВы уже знакомы с понятием возрастающей и убывающей функций. Так, на рисунке 39 изображён график функции, определённой на интервале −1; 10. Эта функция возрастает на отрезках −1; 3 и 4; 5, убывает на отрезках 3;4 и 5;10. Известно, что функция 𝑦=𝑥2 убывает на промежутке −∞; 0 и возрастает на промежутке 0; ∞. График этой функции при изменении 𝑥 от −∞ до ∞ сначала «опускается» до нуля (значение функции в точке 𝑂 равно нулю), а затем «поднимаемся» до бесконечности (см. рис. 20).Рис. 39О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 возрастает на множестве 𝑷, если для любых 𝒙𝟏 и 𝒙𝟐 из множества 𝑷, таких, что 𝒙𝟐>𝒙𝟏, выполнено неравенство 𝒇𝒙𝟐>𝒇𝒙𝟏.О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 убывает на множестве 𝑷, если для любых 𝒙𝟏 и 𝒙𝟐 из множества 𝑷, таких, что 𝒙𝟐>𝒙𝟏, выполнено неравенство 𝒇𝒙𝟐<𝒇𝒙𝟏.Иными словами, функция 𝑓 называется возрастающей на множестве 𝑃, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция 𝑓 называется убывающей на множестве 𝑃, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.⃝ П р и м е р 1. Докажем, что функция 𝑓𝑥=𝑥𝑛 𝒏∈𝑵 при нечётном 𝑛 возрастает на всей числовой прямой, а при чётном 𝑛 функция 𝑓𝑥=𝑥𝑛 возрастает на промежутке 0; ∞ и убывает на промежутке −∞; 0.Докажем сначала, что функция 𝑓𝑥=𝑥𝑛 возрастает на промежутке 0; ∞ при любом натуральном 𝑛. Пусть 𝑥2>𝑥1≥0. Тогда по свойству степени 𝑥2𝑛>𝑥1𝑛. Теперь рассмотрим случай чётного 𝑛. Пусть 𝑥1<𝑥2≤0. Тогда −𝑥1>−𝑥2≥0 и −𝑥1ⁿ>−𝑥2ⁿ≥0, т. е. 𝑥1𝑛>𝑥2𝑛. Тем самым доказано, что функция 𝑓𝑥=𝑥𝑛 убывает −∞; 0 при чётном 𝑛. Осталось рассмотреть случай нечётного 𝑛. Если 𝑥1<0<𝑥2, то 𝑥1𝑛<0<𝑥2𝑛. Если 𝑥1<𝑥2≤0, то −𝑥1>−𝑥2≥0 и потому −𝑥1ⁿ>−𝑥2ⁿ≥0, т. е. −𝑥1𝑛>−𝑥2𝑛, откуда следует, что 𝑥2𝑛>𝑥1𝑛. Итак, доказано, что для нечётного 𝑛 из неравенства 𝑥2>𝑥1 следует неравенство 𝑥2𝑛>𝑥1𝑛. Согласно определению функция 𝑓𝑥=𝑥𝑛 при нечётном 𝑛 возрастает на всей числовой прямой.⃝ П р и м е р 2. Докажем, что если функция 𝑦=𝑓𝑥 возрастает на множестве 𝑃, то функция 𝑦=−𝑓𝑥 убывает на множестве 𝑃. Пусть 𝑥1 и 𝑥2 ‒ любые два числа из множества 𝑃, такие, что 𝑥2>𝑥1. Надо доказать, что −𝑓𝑥2<−𝑓𝑥1, т. е. 𝑓𝑥1<𝑓𝑥2. Но это ‒ очевидное следствие условия: 𝑓
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
Возрастание и убывание функций (продолжение)возрастает на множестве 𝑃.⃝ П р и м е р 3. Функция 𝑓𝑥=1𝑥 убывает на каждом из промежутков −∞;0 и 0;∞ (докажите самостоятельно). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих промежутков. Например, 1>−1, но 𝑓1>𝑓−1.При исследовании функций на возрастание и убывание принято указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти промежутки). Так, можно было сказать, что функция 𝑓𝑥1𝑥 убывает на отрезке 2;100. Это верно, но такой ответ неполон.З а м е ч а н и е. Для чётных и нечётных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания несколько упрощается: достаточно найти эти промежутки при 𝑥≥0 (рис. 40).Рис. 40Пусть, например функция 𝑓 чётна и возрастает на промежутке 𝑎;𝑏, где 𝑏>𝑎≥0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке −𝑏;−𝑎.Действительно, пусть −𝑎≥𝑥2>𝑥1≥−𝑏. Тогда 𝑓−𝑥2=𝑓𝑥2, 𝑓−𝑥1=𝑓𝑥1, причём 𝑎≤−𝑥2<−𝑥1≤𝑏, и поскольку 𝑓 возрастает на 𝑎;𝑏, имеем 𝑓−𝑥1>𝑓−𝑥2, т. е. 𝑓𝑥1>𝑓𝑥2.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Возрастание и убывание тригонометрических функцийДокажем сначала, что синус возрастает на промежутках −𝜋2+2𝜋𝑛; 𝜋2+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁. В силу периодичности синуса доказательство достаточно провести для отрезка −𝜋2; 𝜋2. Пусть 𝑥1>𝑥2. Применяя формулу разности синусов, находим:(1)Из неравенства −𝜋2≤𝑥1<𝑥2≤𝜋2 следует, что 0<𝑥2−𝑥12≤𝜋2 и −𝜋2<𝑥1+𝑥22<𝜋2.Поэтому cos𝑥1+𝑥22>0, sin𝑥2−𝑥12>0. Из (1) вытекает, что разность sin𝑥2−sin𝑥1. Тем самым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках. Аналогично доказывается, что промежутки 𝜋2+2𝜋𝑛; 3𝜋2+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁, являются промежутками убывания синуса.Заметим, что полученный результат легко проиллюстрировать с помощью единичной окружности: если −𝜋2≤𝑡1<𝑡2≤𝜋2, то точка 𝑃𝑡2 имеет, соответственно, ординату, большую, чем ордината точки 𝑃𝑡1 (рис. 41, а). Если 𝜋2≤𝑡1<𝑡2≤3𝜋2, то ордината точки 𝑃𝑡2 меньше ординаты точки 𝑃𝑡1 (рис. 41, б).Промежутками возрастания косинуса являются отрезки −𝜋+2𝜋𝑛;2𝜋𝑛, где 𝑛∈𝒁, а промежутками убывания ‒ отрезки 2𝜋𝑛; 𝜋+2𝜋𝑛, где 𝑛∈𝒁. Доказательство можно провести примерно так же, как и в случаи синуса. Проще же воспользоваться формулой приведения cos𝑥=sin𝑥+𝜋2. Из неё сразу следует, например, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки, полученные из промежутков возрастания синуса сдвигом на 𝜋2 влево.Рис. 41Докажем, что функция тангенс возрастает на промежутках −𝜋2+𝜋𝑛; 𝜋2+𝜋𝑛, где 𝑛∈𝒁. В силу периодичности тангенса доказательство достаточно провести для интервала −𝜋2; 𝜋2.Пусть 𝑥1 и 𝑥2 ‒ произвольные числа из этого интервала, такие, что 𝑥2>𝑥1. Надо доказать, что tan𝑥2>tan𝑥1. Имеем tan𝑥2−tan𝑥1=sin𝑥2cos𝑥2−sin𝑥1cos𝑥1=sin𝑥2cos𝑥1−sin𝑥1cos𝑥2cos𝑥2cos𝑥1=sin𝑥2−𝑥1cos𝑥2cos𝑥1.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Возрастание и убывание тригонометрических функций (продолжение)По предположению −𝜋2<𝑥1<𝑥2<𝜋2. Поэтому cos𝑥1>0, cos𝑥2>0. А так как 0<𝑥2−𝑥1<𝜋, то sin𝑥2−𝑥1>0. Следовательно, tan𝑥2−tan𝑥1>0, т. е. tan𝑥2>tan𝑥1, что и требовалось доказать.Аналогично доказывается, что cot убывает на промежутках 𝜋𝑛; 𝜋+𝜋𝑛, где 𝑛∈𝒁.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
ЭкстремумыПри исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал 2;6 ‒ одна из окрестностей точки 3, интервал −3,3;−2,7 ‒ окрестность точки ‒ 3.Изучая график рисунка 39, можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются такие точки 𝑥, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума 𝑥max=3 и 𝑥max=5 и минимума 𝑥min=4.При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти такие точки. Например, для функции sin это точка вида ±𝜋2+2𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁. Возьмём для определённости 𝑥0=𝜋2. Эта точка является правым концом промежутка возрастания синуса, и поэтому 1sin𝑥0>sin𝑥, если −𝜋2≤𝑥<𝜋2. Кроме того, 𝑥0=𝜋2 ‒ левый конец промежутка убывания, и следовательно, sin𝑥<sin𝑥0 при 𝜋2<𝑥≤3𝜋2. Итак, sin𝜋2>sin𝑥 для любого 𝑥, лежащего в окрестности −𝜋2; 3𝜋2 точки 𝑥0=𝜋2, и поэтому 𝑥0=𝜋2 ‒ точка максимума функции синус.В точке −𝜋2, наоборот, убывание функции меняется на возрастание (слева от −𝜋2 функция убывает, а справа возрастает). Рассуждая аналогично, получаем, что sin𝑥>sin−𝜋2=−1 в некоторой окрестности точки −𝜋2, и поэтому −𝜋2 ‒ точка минимума функции синус. Дадим точные определения точек экстремума.О п р е д е л е н и е. Точка 𝒙𝟎 называется точкой минимума функции 𝒇, если для всех 𝒙 из некоторой окрестности 𝒙𝟎 выполнено неравенство 𝒇𝒙≥𝒇𝒙𝟎 (рис. 42).Рис. 42О п р е д е л е н и е. Точка 𝒙𝟎 называется точкой максимума функции 𝒇, если для всех 𝒙 из некоторой окрестности 𝒙𝟎 выполнено неравенство 𝒇𝒙≤𝒇𝒙𝟎 (рис. 43).По определению значение функции 𝑓 в точке максимума 𝑥0 является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности 𝑥0, как правило, имеет вид гладкого «холма»
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Экстремумы (продолжение)(рис. 43, а и рис. 44 ‒ точки 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) или заострённого «пика» (рис. 43, б).Рис. 43Рис. 44В окрестности точки минимума графики, как правило, изображаются в виде «впадины», тоже или гладкой (рис. 42, б ‒ точка 𝑥0, рис. 44 ‒ точки 𝑥4, 𝑥5), или заострённой (рис. 42, а ‒ точка 𝑥0 и рис. 44 ‒ точка 𝑥6).Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунках 45 (а ‒ точка максимума), 46 (а ‒ точка минимума) и 47 (здесь каждая точка промежутка −1;0) является как точкой минимума, так и точкой максимума).Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47Для точек максимума и минимума функции принято общее название ‒ их называют точками экстремума. Значение функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название ‒ экстремум функции). Точки максимума обозначают 𝑥max, а точки минимума 𝑥min. Значения функции в этих точках обозначаются соответственно 𝑦max и 𝑦min.
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation