Презентация к уроку Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей. В теории вероятностей пространство элементарных исходов принято обозначать буквой , при этом сами элементарные исходы обозначаются 1, 2, 3 и т.д. Пример. Из колоды в 36 карт вытаскивается 1 карта. В этом случае  состоит из 36 исходов:  = 6, 6, 6, 6, 7,…. Достоверное и невозможное событие. Считается, что событие А произошло, если результатом эксперимента стал элементарный исход А. Событие, совпадающее со всем пространством , называют достоверным (это событие происходит при любом результате эксперимента). Пустое множество называется невозможным событием (не происходит никогда). случайные события, это события, которые могут произойти, а могут и не произойти, в результате некоторого эксперимента. Случайное событие Алгебра событий. Суммой событий А и В называется событие А+В, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из этих событий. Произведением событий А и В называется событие АВ, которое заключается в том, что происходят оба этих события. Если АВ – невозможное событие, то события А и В называются несовместными.Разностью между событием А и событием В называется событие А–В, которое заключается в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Событием, противоположным событию А, называется событиеА, которое заключается в том, что событие А не происходит. Вероятность события Пусть  – пространство элементарных исходов. Вероятностью на пространстве  называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:Р(i)  0 для всех i;Р(1) + Р(2) + Р(3) + … = 1Величину Р(i) называют вероятностью исхода i и обозначают рi. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов. Вероятность на пространстве  удобно бывает задавать с помощью таблицы: Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве . 1 2 3 4 Р(1) Р(2) Р(3) Р(4) Подходы к определению вероятности события. Классический подход заключается в том, что вероятности всех элементарных исходов считаются одинаковыми. Этот подход применим лишь в случае, когда пространство элементарных исходов конечно. Статистический подход предполагает проведение большого количества экспериментов, после чего в качестве pi берется частота исхода i, то есть отношение числа экспериментов, при которых данный исход имел место, к общему количеству экспериментов. Вероятностное пространство Пространство элементарных исходов  с заданной на нем вероятностью Р называется вероятностным пространством. Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию. При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю. Свойства вероятности. Р() = 10Р(А)1 для любого события АЕсли АВ, то Р(А)Р(В)Если события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В)Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для любых событий А и В Классический подход. При классическом определении вероятности справедлива формула Формула позволяет находить вероятность данного события чисто комбинаторными методами. Задача . Из карточной колоды (36 карт) берется карта. Какова вероятность, что она бубновой масти?Решение. В данном случае пространство  состоит из 36 элементарных исходов (по числу карт в колоде). Предположение о том, что эти исходы равновероятны, не выглядит слишком смелым. Так как благоприятных исходов 9, то, согласно формуле . Пример 1 Что вероятнее выбросить при метании двух костей – 7 очков или 8 очков?Решение:7 очков: 6/36=1/68 очков: 5/36 Пример 2 В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соответствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвращаются. Какова вероятность того что:Получится слово «око»Получится слово «ар» Пример 3 В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают 6 жетонов и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность получить слово «Москва», если:вынутые жетоны обратно возвращаютсявынутые жетоны обратно не возвращаются?1) 2) Пример 4 Из квадратиков с буквами сложили слово «Миссисипи», после чего квадратики положили в мешок и перемешали.Какова вероятность, что после поочередного извлечения получится тоже слово? Пример 5 В мешке лежат 5 жетонов, помеченных буквами «а», «б», «в», «г».Из него 4 раза извлекают жетон, который после записи снова возвращается обратно. Какова вероятность, что при этом ни одна буква не повторится дважды? Пример 6 Из карточной колоды (36 карт) берутся две карты. Какова вероятность, что обе они бубновой масти?Решение. Тогда пространство элементарных исходов  состоит из неупорядоченных пар (то есть сочетаний из 36 по 2). Их общее количество . Множество благоприятных исходов состоит из неупорядоченных пар карт бубновой масти. Их общее количество =36. Отсюда Пример 7 Задача. 12 команд произвольным образом разбиваются на две подгруппы по 6 команд в каждой. Какова вероятность, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе?Решение. Назовем две сильнейшие команды «Спартак» и ЦСКА. В качестве элементарного исхода будем рассматривать неупорядоченную выборку, состоящую из пяти команд, попавших в одну группу со «Спартаком». Тогда Благоприятный исход – это такая выборка, в которой присутствует ЦСКА, остальные же 4 команды выбираются из 10 оставшихся. Таким образом, число благоприятных выборок равноТо есть искомая вероятность равна Пример 8 Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Какова вероятность, что это событие рано или поздно произойдет?Решение. Вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу за n бросаний равна . Соответственно, вероятность того, что шестерка выпадет хотя быраз (за n бросаний), равна . Вероятность того, что шестерка выпадет когда-нибудь, не меньше этой величины. Так как с ростом n величина стремится к нулю, то искомая вероятность равна 1. Независимые события События А и В называются независимыми, если р(АВ) = р(А)р(В).Независимость двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть р(ВА) = р(В) и р(АВ) = р(А). Независимые события Если события А и В независимыми, тор(А+В) = р(В) + р(А )-р(А)р(В).Пример 9:Два зенитных орудия стреляют одновременно и независимо друг от друга по самолету. Самолет сбит, если в него попал хоть один снаряд.Какова вероятность сбить самолет, если вероятность попадания первого орудия равна 0,8, а второго 0,75 Условная вероятность Как найти вероятность события В, если известно, что произошло событие А? Эта величина носит название условной вероятности и обозначается p(BA) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем: Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий: р(АВ) = р(А)р(ВА) Формула полной вероятности Для любых событий А и В справедлива формула P(A) = P(AB)P(B) + P(AВ)P(А)Пример 10. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что этот шар белый?Решение. Пусть событие В состоит в том, что выбран ящик первого типа. Тогда Р(В) = 0,4; P(А) = 0,6; P(БB) = 0,6; P(БА) = 0,2. Применяя формулу из предыдущей задачи, получим Р(А) = 0,60,4+0,20,6 = 0,36. Формула полной вероятности Пусть события Н1, Н2,…Нn попарно несовместны и в сумме дают все пространство . Тогда справедлива формулаЭта формула называется формулой полной вероятности.Пример 11. В физико-математическом классе учится 50% математиков, 30% физиков и 20% лодырей. Каждый из математиков выучили по 80% заданных учителем формул, каждый из физиков – по 60%, а каждый из лодырей – по 10%. Какова вероятность, что случайно выбранный ученик правильно напишет необходимую формулу? Пример 11 Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом 1, на30% - заводом 2 и на 50% - заводом 3.Для 1 завода вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01Для 2 -0,005Для 3 – 0,006.Какова вероятность того, что взятая наугад лампочка оказалась бракованной? Формула Байеса Если существуют попарно исключающие друг друга гипотезы Хk, охватывающие всевозможные случаи, и если известны вероятности события А при каждой из этих гипотез, то по этой формуле можно найти вероятность гипотезы Нk при условии, что прошло А. Пример 12 20% выпускников 17 школы собираются поступать в московские вузы, 30% – в ТГТУ и 50% – в ТВГУ. Среди поступающих в московские вузы 20% сдают выпускной экзамен по ОБЖ, среди поступающих в ТГТУ и ТВГУ этот процент составляет 60% и 40% соответственно. Известно, что Вася решил сдавать экзамен по ОБЖ. Какова вероятность, что он собирается продолжить свое образование в ТГТУ? Формула Бернулли Результат серии испытаний можно записать как упорядоченный набор из нулей и единиц, в котором единица соответствует успешно проведенному испытанию, а нуль означает, что в соответствующем испытании событие А не произошло. Вероятность того, что на k - ом месте в этом наборе стоит единица равна р, нуль q. Так как испытания независимы, то вероятность результата серии равна произведению вероятностей результатов отдельных испытаний. В этом произведении m раз встречается число р и n–m раз – число q. Осталось сосчитать количество наборов, состоящих из m нулей и n–m единиц. Таких наборов, очевидно, . Отсюда получаем справедливость формулы. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза? Пример 13 Мы стреляем в мишень с вероятностью попадания Всего производится 7 выстрелов.Какова вероятность попасть в мишень ровно 3 раза? Пример 14 Самостоятельная работа В партии из 40 деталей 5 оказалось с дефектами. Какова вероятность того, что взятые наугад 4 детали окажутся без дефектов?Из 10 винтовок, среди которых 6 снайперских и 4 обычные, наугад выбирается одна и из нее производится выстрел. Какова вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки 0,9, а из обычной 0,7?На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?В магазин вошли 11 покупателей. Вероятность совершить покупку каждым из них равна 0,1. Какова вероятность того, что 7 из них совершат покупку7?Из последовательности чисел 101,102,103,…200 выбирают наугад с возвращением 10 чисел. Какова вероятность того, что среди них кратных 8 будет не более одного? Сверим ответы: Вероятность выбора 4 деталей без дефекта: 0,9*0,6+0,4*0,7=0,82Чисел, кратных 6, всего 8,P=0,1; q=1-0.1=0,9 Среди данных чисел кратных 8 – 13, значит вероятность выбрать из 100 чисел 13 равна Тогда искомая вероятность Спасибо за внимание!