Презентация урока по математике на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)

Арифметическая и геометрическая прогрессииУчитель математики МБОУ «Адаевская ООШ» Актанышского муниципального района Республики Татарстан Последовательности Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа.2; 4; 6; 8; … .Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом- число 20, на сотом- число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указывать соответствующее ему положительное четное число: оно равно 2n Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:1; 5; 9; 13; 17; 21; … .Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числомОпределение арифметической прогессии В последовательности 1; 2; 3; 4; 5; … ,𝑎1=1 и d=1.𝑎1- первый член,d – разность арифметической прогрессии.В последовательности 1; 3; 5; 7; 9; …,𝑎1=1, d= 2𝑎2=𝑎1+d𝑎3=𝑎2+d=𝑎1+2d𝑎4=𝑎3+d =𝑎1+3d𝑎𝑛=𝑎1+d(n-1)  Формула n-го члена арифметической прогрессии Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды:S= 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100S= 100 + 99 + 97 +… + 3 + 2 + 1 Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Всего таких пар 100.2S= 101∙10 S=101∙1002=5050 Формула Суммы первых n членов арифметической прогрессии Карл Гаусс (1777-1855) – немецкий математик, астроном, геодезист, физик. Выдающиеся математические способности проявил он в раннем детстве. Его многочисленные исследования в области алгебры, теории чисел, геометрии и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики. Астрономии, геодезии, физики. Карл ГауссДед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Геометрическая прогрессия Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:2; 22; 23;24; 25;26; … . определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.   𝑏1- первый член, q-знаменатель геометрической прогрессии.𝑏2=𝑏1q𝑏3=𝑏2q=(𝑏1q)q=𝑏1𝑞2𝑏4=𝑏3q=(𝑏1𝑞2)q=𝑏1𝑞3𝑏5=𝑏4q=(𝑏1𝑞3)q=𝑏1𝑞4𝑏6=𝑏5q=(𝑏1𝑞4)q=𝑏1𝑞5𝑏𝑛=𝑏1𝑞𝑛−1. Формула n-го члена геометрической прогрессии В геометрической прогрессии 𝑏1=12,8 и q=14. Найдем 𝑏7 .𝑏7=12,8∙ 146 =12810∙146=2710∙ 212=110∙25=1320 Пример 1. Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму первых n ее членов через 𝑆𝑛 𝑆𝑛 = 𝑏1+ 𝑏2 + 𝑏3 + …+ 𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛 𝑆𝑛∙𝑞 =𝑏1∙𝑞 + 𝑏2 ∙q +𝑏3∙𝑞 +…+  𝑏𝑛−1∙𝑞 + 𝑏𝑛∙𝑞 𝑏1𝑞 =𝑏2, 𝑏2𝑞=𝑏3, 𝑏3𝑞=𝑏4, …., 𝑏𝑛−1𝑞=𝑏𝑛.             𝑆𝑛∙𝑞=𝑏2+𝑏3 + 𝑏4+…+𝑏𝑛 +𝑏𝑛𝑞Вычтем из второго равенства первое равенство и приведем подобные члены: 𝑆𝑛q− 𝑆𝑛=𝑏2+𝑏3+𝑏4+…+𝑏𝑛+𝑏𝑛𝑞−𝑏1+𝑏2+𝑏3+…+𝑏𝑛−1+𝑏𝑛=𝑏𝑛𝑞−𝑏1𝑆𝑛=𝑏𝑛𝑞−𝑏1𝑞−1,   Подставим  вместо 𝑏𝑛 выражение 𝑏1𝑞𝑛−1. Получим𝑆𝑛= 𝑏1∙(𝑞𝑛−1)𝑞−1 Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии Таблица геометрической прогрессии Диофант (3 век)Диофант; Diophantos, из Александрии, III в. н. э., выдающийся математик античности, прозванный в средние века "отцом алгебры". Автор учебника математики Арифметика в 13 книгах (6 сохранились). Он представляет собой предваренный вступлением сборник задач, где решаются вопросы из области теории чисел, решения алгебраических уравнений (диофантические уравнения). Д., ориентируясь на древнеегипетскую или вавилонскую систему счета, отделяет чистую арифметику от геометрии и закладывает основы алгебры. Сверх того, он был автором фрагментарно сохранившегося трактата Peri polygonon arithmeton, равно как и утраченного трактата О дробных числах. Решение задачНайти сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что 𝑏3=12  𝑏5=48.Зная   𝑏3  и 𝑏5 , можно найти знаменатель q. Так как 𝑏5 = 𝑏3  𝑞2, то𝑞2 = 𝑏5𝑏3  = 4812 =4.Значит, q=2 или q= -2.Таким образом, существует две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.Если =-2, то 𝑏1=𝑏3𝑞2=3 и 𝑆6=𝑏1(𝑞6−1)𝑞−1=3((−2)6 −1)−2−1=-63 Если q=2, то 𝑏1=3 и 𝑆6=3(26−1)2−1=189