Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Решения систем линейных уравнений методом Крамера» — урок 12-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

Тема 1.2.Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 10 УРОК ДВЕННАДЦАТЫЙ Метод решения систем линейных уравнений методом Крамера ГБОУ СПО МО «ЛПТ»Преподаватель математики Осипова Людмила ЕвгеньевнаMila139139 @ yandex.ru 31.08.1704 – 04.01.1752 Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Самая известная из работ Крамера —трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера Габриель Крамер швейцарский математик. Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2………………………………..am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 1 Количество неизвестных равно числу уравнений m = n А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. А = а11 а12 ... a1na21 a22 … a2n.....................am1 am2 … amn X = X1X2….Xn B = b1 b2…. bm АХ = В - запись СЛАУ в матричном виде Вспомним такие понятия как: Решение системы квадратных линейных уравнений AX= B , где количество неизвестных равно количеству уравнений данной системы, с невырожденной квадратной матрицей А - единственно и имеет вид : Х1 = Δ1 Δ , Х2 = Δ2 Δ , Х3 = Δ3 Δ , .... , Хn = Δn Δ Где : Х1, Х2 , Х3 ,…, Хn - неизвестные переменные, значения которых надо найти, а Δ ; Δ1 ; Δ2 ; Δ3 ; .... ; Δn – определители, которые нужно составить по методу Крамера, а затем вычислить Метод Крамера Δ = а11 а12 ... a1na21 a22 … a2n.....................am1 am2 … amn - определитель системы, определитель основной матрицы. Δ1 = b1 а12 ... a1nb2 a22 … a2n.....................bm am2 … amn -получается из главного определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. 1) Составим главный определитель - Δ 2) Составим определитель - Δ1 3) Составим определитель - Δ2 Δ2 = а11 b1 ... a1na21 b2 … a2n.....................am1 bm … amn -получается из главного определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов. 3) Составим определитель - Δn Δn = а11 а12 ... b1a21 a22 … b2.....................am1 am2 … bm -получается из главного определителя заменой n-го столбца столбцом свободных членов. Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2Х1 – Х2 = 0Х1 + 3Х2 = 7 Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = -1 1 3 Δ = -1 1 3 = 6 + 1 = 7 Δ - отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Рассмотрим пример 1 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 0 -1 7 3 = 7 ; Δ2 = = 14 ; 0 1 7 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = 7 7 = 1 Х2 = Δ2 Δ = 14 7 = 2 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 2. Рассмотрим пример 2 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 3 -1 -2 1 2 0 2 = -36 + 6 + 0 – 4 – 18 – 0 = - 52 Δ2 = 2 9 -1 1 3 1 1 2 2 = 12 + 9 – 2 + 3 -18 – 4 = 0 Δ3 = 2 3 9 1 -2 3 1 0 2 = -8 + 9 + 0 +18 – 6 – 0 = 13 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = -52 -13 = 4 Х2 = Δ2 Δ = 0 -13 = 0 Х3 = Δ3 Δ = 13 -13 = -1 Ответ: Х1 = 4, Х2 = 0, Х3 = -1. Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = -1 1 1 -1 1 -2 1 Δ = -1 1 1 -1 1 -2 1 = 2 - 2 + 1 - 1 - 4 + 1 = -3 Рассмотрим пример 3 Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 4 -1 1 2 1 -1 1 -2 1 = -6 Δ2 = 2 4 1 1 2 -1 1 1 1 = -3 Δ3 = 2 -1 4 1 1 2 1 -2 1 = -2 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 2 ; = 1 ; = 1 Ответ: Х1 = 2, Х2 = 1, Х3 = 1. Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ = = 31 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ - отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Рассмотрим пример 4 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = = 31 Δ2 = = 0 Δ3 = = 31 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 1 ; = 0 ; = 1 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 0, Х3 = 1. 0 5 -1 3 -1 1 -2 2 -3 1 0 -1 2 3 1 1 -2 -3 1 5 0 2 -1 3 1 2 -2 31 31 = 0 31 = 31 31 = Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.http://mathsun.ru/ - История математики. Биографии великих математиков