Презентация по геометрии на тему Многогранники,вписанные в тела вращения (11 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 11 классов Составил учитель математикивысшей категорииГавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год Многогранники, вписанные в сферу. Тема, аналогична теме курса планиметрии, где говорилось, что окружности можно описать вокруг треугольников и правильных n-угольников.Аналогом окружности в пространстве является сфера, многоугольника – многогранник. При этом аналогом треугольника является треугольная призма, а аналогом правильных многоугольников – правильные многогранники. Определение. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера называется описанной около многогранника. «Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность». ДоказательствоЕсли около прямой призмы описана сфера, то все вершины основания призмы принадлежат сфере и, следовательно, окружности, являющейся линией пересечения сферы и плоскости основания.Обратно, пусть около основания прямой призмы описана окружность с центром в точке О1 и радиуса r. Тогда и около второго основания призмы можно описать окружность с центром в точке О2 и тем же радиусом. Пусть О1О2=d, О – середина O1O2. Тогда сфера с центром О и радиуса R= будет искомой описанной сферой. Теорема 1. «Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу, причём только одну». Доказательство.Обратимся к доказательству, аналогичному из курса планиметрии. Прежде всего надо найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух вершин треугольника. Например, А и В.Таким геометрическим местом являетсясерединный перпендикуляр, проведённыйк отрезку АВ. Затем находим геометрическое место точек, равноудалённых от А и С. Этосерединный перпендикуляр к отрезку АС.Точка пересечения этих серединныхперпендикуляров и будет искомым центром О описанной около треугольника АВС окружности. Теорема 2. Теперь рассмотрим пространственную ситуацию и сделаем аналогичные построения.Пусть дана треугольная пирамида DABC, причём точки А, В и С определяют плоскость α. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А, В и С является прямая а, перпендикулярная плоскости α и проходящая через центр О1 описанной около треугольника АВС окружности. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и D, является плоскость β, перпендикулярная отрезку АD и проходящая через его вершину – точку Е.Плоскость β и прямая а пересекаются в точке О, которая и будет искомым центром описанной около треугольной пирамиды DABC сферы. Действительно, в силу построения точка О одинаково удалена от всех вершин пирамиды DABC. Причём такая точка будет единственной, так как пересекающиеся прямая и плоскость имеют единственную общую точку. Шар, описанный около правильной пирамиды. Шар можно описать около любой правильной пирамиды.Центр шара лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды.Радиус шара равен радиусу этой окружности.Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: R2=(H-R)2+r2Это соотношение справедливо и в том случае, когда H < R. Задача про шар, описанный около правильной пирамиды. «Около правильной пирамиды РABC описан шар с центром в точке О и радиусом 9√3м. Прямая РО, содержащая в себе высоту пирамиды, пересекает основание пирамиды в точке Н так, что РН:ОН=2:1. Найти объём пирамиды, если каждое её боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45 градусов». Дано: РABC – правильная пирамида; шар(O;R=9√3 м) описан около пирамиды; РО∩(АВС)=Н; РН:ОН=2:1; ∟РАН=∟ РВН=∟ РСН=45о.Найти: Vпир.Решение: Так как РН:ОН=2:1 (по условию), то РН:ОР=2:3 РН:9√3 =2:3 РН=6√3 (м) 2. РН _ (АВС) (как высота пирамиды) => => РН _ АН (по определению) => РАН – прямоугольный. 3. В РАН: 4. Так как по условию РАВС – правильная пирамида и РН – её высота, то по определению АВС – правильный; Н – центр описанной около АВС окружности, значит, 5. Ответ: 486 м3. Шар, описанный около призмы. Шар можно описать около призмы, если она прямая, и ее основания являются многоугольниками, вписанными в окружность.Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы.Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, описанных около основания призмы, связаны соотношением: Задача про шар, описанный около призмы. «Правильная призма АВСDA1B1C1D1 с высотой равной 6 см вписана в шар (т.О;R=5см). Найти площадь сечения призмы плоскостью, параллельной плоскостям основания и проходящей через точку О – центр шара». Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призма; шар(O;R=5 см) описан около призмы; высота призмы h равна 6 см; α║(АВС); О с α.Найти: Sсеч α,Решение: Так как по условию призма вписана в шар, то (r-радиус окружности, описанной около основания призмы) Но по условию дана правильная призма, значит, а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойству прямой призмы) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН=> KM ║ HP (по свойству параллельных плоскостей)Ho (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=НР (по свойству параллельных плоскостей).Значит, КМНР – параллелограмм (по признаку)=> МН=КР и МН ║ КРб) α ║ (АВС) (по построению) α ∩ (АВВ1)=КМ (АВС) ∩ (АВВ1)=АВ=> KM ║ АВ (по свойству параллельных плоскостей) 2.3. Так как по условию АВСDA1B1C1D1 – правильная призма, и сечение плоскостью α параллельно основаниям, то образованная сечением фигура – квадрат.Докажем это: => => => KMH= ABC=90o (как углы с соответственно сонаправленными сторонами)Значит, ромб КМНР – квадрат (по определению), что и требовалось доказать.Причём, квадраты КМНР и АВСD равны. Следовательно, по свойству их площади равны, а, значит, Sсеч α.=SABCD=32 (см2)Ответ: 32 см2. в) KM ║ АВ (доказали)(BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=АВ=4√2 см (по свойству параллельных плоскостей).г) Аналогично доказывается, что МН ║ ВС и МН=ВС=4√2 см.Значит, МН=КМ => параллелограмм МНРК – ромб (по определению).д) МН ║ ВС (доказали) КМ ║ АВ (доказали) => => Цилиндр, описанный около призмы. Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность. Радиус цилиндра R равен радиусу этой окружности.Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы.В случае с четырёхугольной призмой (если в основании прямоугольник), ось цилиндра проходит через точку пересечения диагоналей оснований призмы. Задача про цилиндр, описанный около призмы. Прямая призма АВСDA1B1C1D1 , основание которой – прямоугольник, вписана в цилиндр, образующая которого равна 7 см, а радиус – 3 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если угол между диагоналями АВСD равен 60 градусов. ОО1 – ось цилиндра. Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма; цилиндр описан около призмы; образующая цилиндра АА1=7 см; радиус основания цилиндра равен 3 см; угол между диагоналями АВCD равен 60о; ОО1 – ось цилиндра.Найти: Sбок.призм.Решение: Так как по условию четырёхугольная призма, в основании которой прямоугольник, вписана в шар, то по свойству АС∩ВD=О. Значит, АОВ=60о и АО=ОВ=3см.2. В АОВ по теореме косинусов: 5. Ответ:≈114,7 см2. АС=АО+СО АС=2R AC=2∙3=6(см)4. В АВС (прямоугольный) по теореме Пифагора: Конус, описанный около пирамиды. Конус можно описать около пирамиды, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.Радиус конуса R равен радиусу этой окружности, а высота H конуса и пирамиды совпадают. Задача про конус, описанный около пирамиды. «Пирамида РАВС вписана в конус, высота РО которого равна 4, а радиус 5. Прямая СО пересекает АВ в точке М, причём АМ=ВМ=3. Найти угол между боковой гранью пирамиды (РАВ) и плоскостью основания». Дано: пирамида РABC вписана в конус; РО=4; ОА=ОВ=ОС=5; СО∩АВ=М; АМ=МВ=3.Найти: РАВС.Решение: 1. В ОВА: ВМ=АМ (по условию) => ОМ – медиана ОВА( по определению) Но ВО=ОА (как радиусы)=> (по определению) ОВА – равнобедренный =>=> (по свойству) ОМ – высота, т.е. ОМ _ АВ Но ОМ с СО, значит, СМ _ АВ.2. В ОМА (прямоугольный) по теореме Пифагора: Но ОМ _ РМ (доказали) и РМ с (АВР), и ОМ с (АВС)Значит, РМО – линейный для РАВС (по определению).6. В РМО (прямоугольный):Ответ: 45О. РО _ (АВС) (как высота)=>по определению РО _ ОМ.В РОМ (прямоугольный) по теореме Пифагора: РО _ (АВС) (как высота) РМ – наклонная к (АВС) МО – её проекция на (АВС) ОМ _ АВ (доказали)=>по теореме о трёх перпендикулярах РМ _ АВ => Это лишь некоторые примеры вписанных друг в друга тел.Последнее время они получили большое распространение, особенно в дизайне. Это касается различных домашних аксессуаров, таких как светильники, подсвечники, вазы и даже кофейные столики и тумбочки.