Предел последовательности. Свойства и правила
Предел последовательности Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В
а) 1, 2, 3,…,n,….б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…, в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,…Любое число в совокупности имеет номер в соответствии с тем местом, которое оно занимает и от него зависит.Пример: n=12а) a12=12 б) b12=-1/12 в) c12=sin 12
style.rotationppt_wppt_y
style.rotationppt_wppt_y
style.rotationppt_wppt_y
style.rotationppt_wppt_y
ОПР. Совокупность чисел, каждоеиз которых имеет свой номер n є N и от него зависит, называется числовой последовательностью.Xn ={X1,X2,…,Xn}an={a1,a2,…,an}
Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.Описание (xn )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001…√2=1,1421356… (Xn)={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}
2. Формула n-го члена. Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеруНазовите первые 5 членов последовательности (Xn)= n²
Понятие сходящейся последовательностиРассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn) и изобразим их члены точками на координатной прямой.(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;(хn): у013579111301хОбратим внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится.
Понятие сходящейся последовательности(уn): 1, 3, 5, 7,…,(2n-1),...Нет точки сгущенияПоследовательность расходится(хn): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,..Точка сгущения – 0Последовательность сходитсяЧтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.
Окрестность точкиОпределение 1. Пусть а – точка прямой, а r – положительное число. Интервал (а - r; a + r) называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности.Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03.хa-ra+ra
Предел последовательностиВ математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности».Определение 2. Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);2. (предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b)
Формулы1) lim 1/n = 0 n→∞ 2) lim qn = 0, если 0 < |q| < 1 n→∞ Если q > 1, то lim qn не существует. n→∞ 3) lim С = С n→∞4) lim (к /nm) = 0 n→∞
Предел последовательностиПостроим графики последовательностей:
Рис. 1Рис. 2Рис. 3у = 2у = 0у = 0
Асимптоты графикаОбратите внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у = 0, на рис 2 – к прямой у = 0, на рис 3 – к прямой у = 2.Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
Асимптоты графикаВообще равенствоозначает, что прямая у = аявляется горизонтальной асимптотой графика последовательности,т.е. графика функции у = b
Свойства● Если последовательность сходится, то только к одному пределу.● Если последовательность сходится , то она ограничена. Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−ограниченная последовательность, но она не сходится●Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа»1815-1897 г.Кратер на Луне
Свойства вычисления пределов Если lim хn = b и lim уn = c , то n→∞ n→∞1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c n→∞ n→∞ n→∞ 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c n→∞ n→∞ n→∞3)Предел частного равен частному пределов: lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c n→∞ n→∞ n→∞4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k · хn) = k · lim хn = k ∙ b n→∞ n→∞
Примеры вычисления пределовПример 1. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x, т.е. на x3.
Примеры вычисления пределовПример 2. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x т.е. на x4.
Примеры вычисления пределовПример 3. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x, т.е. на x6. (не существует)
Правила вычисления пределов1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.
Правила вычисления пределов2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю.
Правила вычисления пределов3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.
1.2.3.4.Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:
Методика вычисления пределов в точкеЕсли функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a).Пример 1. ВычислитьРешение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x3) и применим правила вычисления пределов.Примеры вычисления пределов
Пример 2. ВычислитьРешение. Пример 3. ВычислитьРешение. Примеры вычисления пределов
Методика вычисления пределов в точкеЕсли же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке. 1. 2. 3.
Пример 1. ВычислитьРешение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x2) и применим правила вычисления пределов.Примеры вычисления пределов
Пример 2. ВычислитьРешение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x2) и применим правила вычисления пределов.Примеры вычисления пределов
Пример 3. ВычислитьРешение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x3) и применим правила вычисления пределов.Примеры вычисления пределов
Методика вычисления пределов в точкеЕсли и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида 𝟎𝟎 .Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.
Примеры вычисления пределовПример 1. Вычислитьвыяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида 00 , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒙−𝒙𝟏𝒙−𝒙𝟐
Примеры вычисления пределовПример 2. Вычислитьвыяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида 00 , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒙−𝒙𝟏𝒙−𝒙𝟐
Примеры вычисления пределовПример 3. ВычислитьРешение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида 𝟎𝟎 , воспользуемся формулами сокращенного умножения 𝒂𝟐−𝒃𝟐=𝒂−𝒃𝒂+𝒃, 𝒂𝟑−𝒃𝟑=𝒂−𝒃𝒂𝟐+𝒂𝒃+𝒃𝟐 Активно используйте формулы сокращенного умножения
Следующие пределы вычислите самостоятельно1. 2. 4. 6.7. 8.
Ответы1. 2. 4. 6.7. 8.