Презентация по математике на тему Векторный метод решения иррациональных уравнений и неравенств (9-11 класс)

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВКузнецова Елена Борисовна, учитель математики МБОУ СОШ № 46 с УИОПг. Сургут Задача 1Доказать, если 𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐=𝟏,то 𝒙𝟒+𝟏+𝒚𝟒+𝟏 + 𝒛𝟒+𝟏 ≥ 𝟏𝟎Доказательство: Пусть 𝑎(𝑥2;1), 𝑏(𝑦2;1), 𝑐(𝑧2;1); 𝑑=𝑎  + 𝑏 + 𝑐 = (x2+y2+z2; 1+1+1), 𝑑( 1; 3), |𝑎  |= 𝑥4 +1; |b  |= 𝑦4 +1; | 𝑐|=𝑧4 +1 ;  |𝑑|= 1+9=10. Для любых векторов 𝑎 (𝑎1; 𝑎2), 𝑏(𝑏1;𝑏2),   𝑐 (𝑐1; 𝑐2) справедливо неравенство |𝑎| + |𝑏 | + +|𝑐  | ≥ |𝑎  + 𝑏 + 𝑐 | => 𝒙𝟒+𝟏+𝒚𝟒+𝟏 + +𝒛𝟒+𝟏 ≥ 𝟏𝟎  


Задача 2Решить неравенство (𝟔−  𝒙)𝟐+𝟒 +(𝒙−  𝟐)𝟐+𝟏≤ 5Решение: Пусть 𝑎  (6-x; 2), 𝑏 (x-2; 1) и 𝑐 = 𝑎  + 𝑏 = (4;3 );| 𝑎 |= (𝟔−  𝒙)𝟐+𝟒 ; | 𝑏 | = (𝒙−  𝟐)𝟐+𝟏 ; | 𝑐 | =| 𝑎  + 𝑏|= 16+9 = 5.По условию | 𝑎 |+ | 𝑏 | ≤ 5, а по неравенству треугольника | 𝑎 |+ | 𝑏 | ≥| 𝑎  + 𝑏|=5 =>| 𝑎 |+ | 𝑏 | = 5 => 𝑎 и 𝑏  коллинеарны и 𝑎  ↑↑𝑏  => 6−𝑥𝑥−2 = 21; x= 103 Ответ: 103 


Задача 3Решить неравенство 𝒙+𝟏 +𝟐𝒙−𝟑 + 𝟓𝟎−𝟑𝒙 ≤ 12Решение: ОДЗ 𝟑𝟐; 𝟓𝟎𝟑Пусть 𝑎  (1;1;1), 𝑏 (𝑥+1; 2𝑥−3; 50−3𝑥) 𝑎⋅𝑏 = 𝑥+1 +2𝑥−3 + 50−3𝑥| 𝑎 |= 3 ; | 𝑏 | = 48  ; Очевидно,  𝑎⋅𝑏 ≤ |𝑎|⋅ |𝑏|, 𝑥+1 +2𝑥−3 + 50−3𝑥 ≤ 3⋅ 48 =12справедливо для любых x из ОДЗ => х∈ 𝟑𝟐; 𝟓𝟎𝟑- решение неравенства 



Задача 4Решить неравенство 𝟏𝟑𝒙−𝟔− 𝟔𝒙𝟐 +𝟐𝟎𝒙−  𝟕−𝟏𝟐𝒙𝟐 +𝟓𝒙−𝟐−𝟐𝒙𝟐 ≥ 4 - xРешение: (3−2𝑥)(3𝑥−2) +(7−6𝑥)(2𝑥−1) +(2−𝑥)(2𝑥−1)≥ ≥4 – x, ОДЗ: 23; 76Пусть 𝑎 (7−6𝑥; (2−𝑥); (3𝑥−2)),𝑏((2𝑥−1); 2−𝑥 ; (3−2𝑥) ).  𝑎⋅𝑏 = (3−2𝑥)(3𝑥−2) +(7−6𝑥)(2𝑥−1) + +(2−𝑥)(2𝑥−1)|𝑎|=7−6𝑥+2𝑥−1+3𝑥−2= 4−𝑥|𝑏| = 2𝑥 −1+2 −𝑥+3−2𝑥 = 4−𝑥|𝑎|⋅ |𝑏| = 4 – x =>  𝑎⋅𝑏 ≥ |𝑎|⋅ |𝑏| , но  𝑎⋅𝑏 ≤ |𝑎|⋅ |𝑏| => 




Задача 4 𝑎⋅𝑏 = |𝑎|⋅ |𝑏| => 𝑎 и 𝑏 коллинеарны и 𝑎  ↑↑𝑏  => 7−6𝑥2𝑥−1 = 2−𝑥2−𝑥 = 3𝑥−23−2𝑥; 7−6𝑥 = 2𝑥−1; 7 – 6x = 2x – 1; 𝑥=1Ответ : x = 1 


Задача 5 Решить уравнение x𝟐𝒙−𝟏 +2𝒙−𝟏 = 𝒙𝟐  +𝒙−𝟏⋅𝟐𝒙+𝟑 Решение: Пусть 𝑎 𝑥; 𝑥−1,  𝑏(2𝑥−1;2). | 𝑎 |= 𝑥2+𝑥 −1 ; | 𝑏 | = 2𝑥+3 𝑎⋅𝑏 = x2𝑥−1 +2𝑥−1 , |𝑎|⋅ |𝑏| = 𝑥2  +𝑥−1⋅2𝑥+3 𝑎⋅𝑏 = |𝑎|⋅ |𝑏| => 𝑎 и 𝑏  коллинеарны => 𝑥2𝑥−1 = 𝑥−12 , x≥1 2𝑥2+3x-1=0, x = −3±174< 1Ответ: корней нет 



Задача 6 Решить уравнение 2𝒙−𝟏 +5x = (𝒙𝟐  +𝟒)(𝒙+𝟐𝟒) Решение: ОДЗ x≥1. Пусть 𝑎 2;𝑥,  𝑏(𝑥−1;5).  𝑎⋅𝑏 = 2𝑥−1 +5x , |𝑎|⋅ |𝑏| = (𝑥2  +4)(𝑥+24) => 𝑎⋅𝑏 = |𝑎|⋅ |𝑏| => 𝑎 и 𝑏  коллинеарны => 2𝑥−1 = 𝑥5 ,f(x)= 2𝑥−1, g(x)= 𝑥5. f(x) – непрерывная и убывающая функция при x>1, g(x) - непрерывная и возрастающая на Ох=> уравнение имеет не более одного корня, найдем подбором х=5.Ответ: 5 




Задача 7 Решить систему уравнений Решение: Пусть 𝑎 x+2;y,  𝑏(x - 2;y), | 𝑎 |= (𝑥+2)2+𝑦2 | 𝑏 | = (𝒙−𝟐)𝟐+𝑦2 . Пусть 𝑐 = 𝑎  - 𝑏 = (4;0 ), | 𝑐|=4.| 𝑎 |+ | 𝑏 |= | 𝑐| => 𝑎 и 𝑏  коллинеарныe => 𝑥+2𝑥−2 = 𝑦𝑦.Если y ≠ 0, то 𝑥+2𝑥−2 = 1 - ПРОТИВОРЕЧИВО. Пусть y =0 => 𝑥+2+𝑥−2=4𝑥2−6𝑥+5=0, при x=1 𝑥+2𝑥−2 < 0 => x=1, y=0. Ответ: x=1, y=0 


СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ