Презентация по геометрии на тему Перпендикулярность прямых в пространстве (10 класс)
Перпендикулярность прямых в пространстветема:
Цели урокаОбучающие: дать понятие перпендикулярных прямых в пространстве; определение прямой, перпендикулярной к плоскости;формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам. Развивающие: развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний. Воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества; формировать эмоциональную культуру и культуру общения.Методы обучения:словесный, наглядный. Формы обучения:коллективная, индивидуальная.Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
ВСПОМНИМ ПЛАНИМЕТРИЮВопрос. Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?Пересекаются Прямые, которые имеют общую точку и лежат в одной плоскости, называются пересекающимися.Вопрос. Какие прямые называются пересекающимися?ACαDOВопрос. Пересекающиеся прямые образуют углы. Какие? Смежные и вертикальные.Вопрос. Какой угол называют углом между прямыми? Углом между прямыми является меньший из двух смежных.Углом между прямыми АВ и СD является ∠ ВОD. BНаибольшим углом между прямыми может быть угол 90⁰. Такие прямые называются перпендикулярными. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Построение перпендикулярных прямых
Построение перпендикулярных прямых
Сколько перпендикуляров к данной прямой можно провести через данную точку А, не лежащую на прямой или В, лежащую на прямой? Как проведем такую прямую? Сделайте чертёж. Аbcc b
style.rotation
stroke.colorstroke.on
ppt_yppt_yppt_y
Bbcc b
style.rotation
stroke.colorstroke.on
ppt_yppt_yppt_y
Дадим определение перпендикулярных прямых в пространстве.Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.АВМNОАВMNПолучается, что определение перпендикулярных прямых в пространстве аналогично определению перпендикулярных прямых на плоскости.
Вопрос. Какие прямые в пространстве называют параллельными?Ответ: прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости.Вопрос. Найдите различия этого определения с определением перпендикулярных прямых.Ответ: а )пересекаются,б )не сказано, что лежат в одной плоскости.Вывод. Перпендикулярные прямые могут лежать в разных плоскостях.Вопрос. Как называются прямые, лежащие в разных плоскостях?Ответ :скрещивающиеся.Вывод. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.
Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b. Эти понятия рассмотрим на модели прямоугольного параллелепипеда.a bαba bαba bαb-прямая a скрещивается с прямой b.
На плоскости мы говорили только о перпендикулярности прямых, а в пространстве уже 3 возможности: Перпендикулярность прямых,2. Перпендикулярность прямой и плоскости,3. Перпендикулярность двух плоскостей.
αТеорема 2. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они также перпендикулярны.Доказательство.Пусть а b. а ∩ b = O. Тогда согласно аксиоме они лежат в одной плоскости α.a1||a, b1||b, также а1 ∩ b1 = O1. Тогда согласно аксиоме они лежат в одной плоскости β.α||β по признаку параллельности плоскостей.Соединим точки О и О1.Выберем на прямой а1 точку А1, а на прямой b1 – точку В1.Проведём АА1||OO1 и ВВ1 ||OO1=> АА1|| ВВ1AЧерез АА1|| ВВ1 проведём плоскость γ. βb1O1В1Ва1А1γаbO
βαаbOа1b1O1А1В1AВТак как α||β, а γ ∩ α = АВ, γ ∩ β = А1В1, то по свойству параллельных плоскостей АВ ||А1В1. А также АА1 = ВВ1. γЧетырёхугольники О1А1АО, О1В1ВО и АА1В1В – параллелограммы, отсюда О1А1 = ОА, О1В1 = ОВ и А1В1 = АВ.Следовательно ∆ А1О1В1 = ∆ АОВ по трём сторонам.Из равенства треугольников следует: ∠ О1 = ∠ О.Так как по условию а b, то ∠ О = 90⁰, значит и ∠ О1 = 90⁰
Теорема 1. Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.αДоказательство. Пусть b – данная прямая и А – точка на ней. bВозьмём вне прямой b произвольную точку Х.●ХПроведём через эту точку и прямую b плоскость α (следствие из аксиом). В плоскости α через точку А можно про вести прямую с ( с b)c●А
style.rotation
stroke.colorstroke.on
Теорема 3. Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.αbc●АДоказать самостоятельно.
style.rotation
stroke.colorstroke.on
Теорема 4. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она перпендикулярна и второй прямой.αаbcДоказать самостоятельно.
Рассмотрим случай когда три прямые в пространстве между собой попарно перпендикулярны и имеют общую точку.abcαβγO●aabcO●б●АВС●●Отметим, что в пространстве существует множество плоскостей, которые можно провести через одну и туже прямую. Выбирая точку А вне прямой, мы попадаем на одну из этих плоскостей и в выбранной плоскости к данной прямой через точку А проводим прямую, перпендикулярную данной.Итак, в пространстве к прямой можно провести сколь угодно много перпендикулярных прямых, проходящих через данную точку этой прямой.
Итог урока1. Какие прямые пространства называются перпендикулярными?2. Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку этой прямой?3. Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку, которая не лежит на этой прямой?4.С какими свойствами перпендикулярных прямых пространства вы познакомились сегодня на уроке?